隨機積分

隨機分析（Stochastic Analysis）主要研究現代隨機積分和隨機微分方程。現代鞅論是隨機積分的基礎， ^[1]  它的內容主要的有測度論的條件期望、連續時間鞅、停時過程、可選過程、可料過程、測度的投影、截口定理、半鞅的Doob-Meyer分解、可變變差鞅、平方可積鞅、局部鞅等。然後從可料過程對L2鞅的隨機積分開始，逐步深入到對一般適應過程的隨機積分。Ito引理、Ito公式、Girsanov定理、Brown局部鞅的隨機積分表示、半鞅局部時是隨機分析的重要工具。其中，Girsanov定理給出的測度數變換在現代數理金融學中有重要的意義。隨機微分方程的強解和弱解問題、解一類隨機微分方程等也是隨機分析的主要內容。

這是對布朗運動定義的一種隨機積分。布朗運動的樣本函數雖然連續，但幾乎所有的樣本函數非有界變差，甚至處處不可微，因而無法按樣本函數來定義通常的黎曼－斯蒂爾傑斯積分（簡稱RS積分）或勒貝格-斯蒂爾傑斯積分（簡稱LS積分）。 ^[2]  一般來説，RS積分定義中的達布和不會以概率1收斂到一定的極限，但在適當的條件下，達布和的均方極限存在。伊藤清正是利用這一性質定義了對布朗運動的隨機積分。設

t∈R+= 【0，∞）}是一族上升的子σ域，布朗運動W={W(t),t∈R+} 是鞅。如果樣本連續的有界隨機過程φ={φ(t),t∈R+}是適應的，那麼當有限區間【α，b】嶅R+的分割隨機積分 的直徑PI噬菌體共轉導頻率

趨於零時，達布和

的均方極限存在，記作隨機積分，它稱為φ在區間【α，b】上對W 的伊藤積分。值得注意的是，在達布和的構造中，被積過程在【tk-1,tk】上的取值點不是隨意一點，而只能是它的左端點 tk-1。這是一個嚴格的限制。完全不加限制時其極限不存在，如作其他的限制，則可能得到另外的極限，從而定義出另外的積分，但最有用的是這種限制。伊藤積分最重要的性質是著名的伊藤公式：設F是二次連續可微的實函數，則這一公式及其各種推廣在理論上和應用上都有重要的作用。例如，

可以用來證明關於布朗運動的鞅刻畫的萊維定理：一個從零出發的樣本連續過程W={W(t),t∈R+} 為布朗運動的充要條件，是W 和{W 2(t)-t,t∈R+} 都為鞅。 ^[2] 

使E

的鞅x={x(t),t∈R+} 稱為平方可積鞅，其中x（∞）是當t→∞時，x(t）以概率1 收斂的極限。對一個平方可積鞅x,-x2是類（D）上鞅，因此根據上鞅分解定理，x 2僅可表成一致可積鞅M和可料增過程A 之和，X 2(t)=M(t)+A(t）。由此，對任何樣本連續的有界適應過程 φ，當[α，b)]的分割的直徑δ（墹）趨於零時，達布和隨機積分的均方極限存在，這個極限就稱為φ 在【α，b）】上對x的

。這種積分也有相應的伊藤公式：對二次連續可微的函數F，

右邊最後一項是按軌道的LS積分，可料增過程A的軌道是右連續增函數。這種隨機積分還可以進一步推廣到對局部鞅以至半鞅的積分。 ^[3] 

在伊藤積分定義的達布和中，如果用在小區間【tk-1,tk】中點的被積過程值φ（或者等價地， 用在兩個區間端點的過程值的算術平均代替左端點的過程值φ（tk-1），則均方極限也存在，但此極限與伊藤積分不相同，它定義了用斯特拉託諾維奇命名的另一種積分，記作

這種積分的一個優點是，對一個三次連續可微的函數F，

它保持了普通微積分中牛頓-萊布尼茨公式的形式。 ^[3] 

常見的還有均方

和對正交增量過程的積分。對一個均方連續的隨機過程x，即對一切t0∈R+滿足隨機積分的x，達布和的均方極限存在，它定義了x在區間【α，b）】上的均方，記作其中是【α，b】的分割，sk可在【tk-1,tk】上任取，均方極限是在δ（墹） 趨於零的條件下取的。設Z 是一個正交增量過程，即對一切那麼對任一[α，b]上的連續函數ƒ，達布和的均方極限定義了ƒ在[α，b]上對Z的積分，記作。這種對正交增量過程積分的最重要的應用是寬平穩過程的譜表示（見平穩過程）。

形如方程

稱為伊藤方程，其中α（s,x）、σ（s,x) 是一次連續可微的二元函數，W是布朗運動，X是待求的半鞅。由於形式上還可以將方程改寫為 dx(t) = α(t,x(t))dt + σ(t,x(t))dW(t) 這種微分表示，習慣上常稱為（伊藤）隨機微分方程。理論上對它已有很多研究，解的存在唯一 ^[4] 

性問題已經解決，並且有各種形式的推廣，如用半鞅代替布朗運動等。但能把解明確表達出來的還只有少數簡單的特例，如對x(0) = 1，α(s,x) = 0，σ(s,x) = x，方程

有唯一解

它是一個樣本連續鞅。 ^[4] 

此外，對於均值函數為零的實二階過程x（見隨機過程），可定義其各階均方導數。若x的協方差函數 Г(s,t)=Ex(s)x(t) 二次連續可微，則差商 [x(t+Δt)-x(t)]/Δt當 Δt→0 時的均方極限總存在，它定義了x的一階均方導數隨機積分。一般地，若 Г(s,t)2n次連續可微，則x的n階均方導數存在。聯繫着一個二階過程x及其各階均方導數之間的方程，如

等，稱為均方隨機微分方程。求解它，就是要找出滿足該關係式的二階過程x。例如

在初值x(0)=ξ下的唯一解是其中α是實常數，ξ為已知的隨機變量，Y為已知的均方連續隨機過程，而積分是均方隨機積分。 ^[4]