以概率1收斂

我們知道，隨機變量實際上是定義在概率空間上取值為實數的函數，因此我們可以像數學分析時論函數序列逐點收斂性那樣去討論隨機變量序列在每個樣本點處取值的收斂性。然而，由於隨機變量取值的隨機性，我們常常不可能期待隨機變量序列在所有樣本點處都存在極限，問題是研究極限是否在一個概率為1的點集上存在。

設

和

是定義在概率空間

上的隨機變量。

1. 如果存在

使得

且對任意

有

則稱

以概率1收斂(converges with probability one)或幾乎必然收斂(converges almost surely)於

，記作

。

2. 如果存在

使得

且對任意

數列

是柯西基本列，即

則稱

以概率1是柯西基本列。

注: 以概率1收斂意味着最多除去一個零概率事件外，

逐點收斂於

，根據柯西基本列一定存在極限的原則

以概率1收斂當且僅當

以概率1是柯西基本列。 ^[1] 

下面給出以概率1收斂的判別準則。

設

和

是定義在概率空間

上的隨機變量

(1)

當且僅當對任意

或者等價地

(2)

以概率1是柯西基本列當且僅當對任意

或者等價地

(1)對任意

令

那麼

由連續性定理

於是下列關係式成立

(2) 對任意

令

那麼事件

{

不是柯西基本列}=

.

如果對任意

則

證明：注意到

即可。 ^[1]