伽遼金法

伽遼金（Boris Galerkin）生於1871年3月4日，卒於1945年7月12日。前蘇聯工程師、數學家。1915年伽遼金髮表了一篇論文，其中提出一種數值分析方法。應用這種方法可以通過方程所對應泛函的變分原理將求解微分方程問題簡化成為線性方程組的求解問題。而一個多維（多變量）的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化，從而達到求解微分方程的目的。伽遼金法通過選取有限多項式探函數（又稱基函數或形函數），將它們疊加，再要求結果在求解域內及邊界上的加權積分（權函數為試函數本身）滿足原方程，便可以得到一組易於求解的線性代數方程，且自然邊界條件能夠自動滿足。作為一種試探函數選取形式，伽遼金法所得到的只是在原求解域內的一個近似解，僅僅是加權平均滿足原方程，並非在每個點上都滿足。

應用這種方法可以將求解微分方程問題（通過方程所對應泛函的變分原理）簡化成為線性方程組的求解問題。而一個高維（多變量）的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化，從而達到求解微分方程的目的。

伽遼金法採用微分方程對應的弱形式，其原理為通過選取有限多項勢函數（又稱基函數或形函數），將它們疊加，再要求結果在求解域內及邊界上的加權積分（權函數為勢函數本身）滿足原方程，便可以得到一組易於求解的線性代數方程，且自然邊界條件能夠自動滿足。

必須強調指出的是，作為加權餘量法的一種勢函數選取形式，伽遼金法所得到的只是在原求解域內的一個近似解（僅僅是加權平均滿足原方程，並非在每個點上都滿足）。

伽遼金法直接針對原控制方程採用積分的形式進行處理，它通常被認為是加權餘量法的一種。這裏先介紹加權餘量法的一般性方程。考慮定義域為V的控制方程，其一般表達式為：Lu=P。精確解集u上的每一點都滿足上述方程，如果我們尋找到一個近似解ū ，它必然帶來一個誤差ε（x），把它叫做殘差，即：ε (x)=Lū-P。

近似方法要求殘差經加權後他在整個區域中之和應為0，即：∫ v[ Wi· (Lū-P)]dV=0 ，其中i=1,2,...,n。選取不同的加權函數Wi會得到不同的近似方法。

對於伽遼金法來説，加權函數Wi一般稱為形函數Φ（或試函數），Φ的形式為Φ=ΣΦi·Gi，其中，Gi（i=1,2,...,n）為基底函數（通常取為關於x,y,z的多項式），Φi為待求係數，這裏將加權函數取為基底為Gi的線性組合。

另外，一般近似解ū的構造也是選取Gi為基底函數，即：ū=ΣQi·Gi，其中，Qi為待定係數。

綜上可得伽遼金法的表達形式如下：

選擇基底函數Gi，確定 ū=ΣQi·Gi中的係數Qi使得：∫ v[ Φ· (Lū-P)]dV=0，對於Φ=ΣΦi·Gi類型的每一個函數 Φ都成立，其中係數Φi為待定的，但需要滿足Φ其次邊界條件。求解出Qi之後，就能得到近似解ū。

伽遼金法在力學中遵循的是虛功原理和流體力學中的虛功率原理 ^[1]  。虛功原理即：對於滿足理想約束的剛體體系上作用任何的平衡力系，假設體系發生滿足約束條件的無限小的剛體位移，則主動力在位移上所做的虛功總和恆為零（內虛功總等於外虛功）。虛功率原理類似於力學中的最小勢能原理，流場外力所做的虛功率等於流場內應力及慣性力的虛功率。伽遼金法通常被認為是加權餘量法的一種。加權餘量法就是一種定義近似解與真解之間誤差（即餘數），並設法使其最小的方法。

伽遼金法可廣泛用於各種數學物理工程問題，特別是流體力學中的有限元方法，主要採用的就是伽遼金法或其改進方法。 相對於瑞利-里茲法，兩者雖然在某個特定的條件是等效的，但是伽遼金法是直接針對原始微分方程推導出來的，也適用於不能給出泛函（需對其求極小值）的那些問題，伽遼金法比瑞利-里茲法更有優勢。但是應當注意的是，伽遼金法雖然具有精度高、適用性較廣的優點，但是對它的數學原理研究還不是很清楚，收斂性的許多問題仍有待解決。

雖然有限元方法在流體力學中應用時主要採用的就是伽遼金法，但是對於某些流體力學問題，如對流擴散問題（由於對流擴散方程存在非線性的對流項）會經常因為有限元網格不恰當而造成有限元數值解的失真或振盪。對於這個缺陷，可以通過加密網格解決，但是這樣會導致計算量大大增加，並不實用；此外Heinrich和Zienkiewicz等人於1977年提出採用迎風格式優化伽遼金法，從而在不增加計算量的基礎上解決了這個問題。

另外伽遼金法及其一系列改進方法，如混合伽遼金法，最小二乘/伽遼金法等，都會產生非正定對稱剛度矩陣，從而導致其方程組求解的計算量較大，所以至今未能大範圍用於計算流體力學中。