對流擴散方程

對流擴散方程表徵了流動系統的質量傳遞規律，求解此方程可得出濃度分佈。此方程系通過對系統中某空間微元體進行物料衡算而得。對於雙組分系統，A組分流入某微元體的量，加上在此微元體內因化學反應生成的量，減去其流出量,即為此微元體中組分A的積累量。考慮到組分A進入和離開微元體均由擴散和對流兩種作用造成,而擴散通量是用斐克定律（見分子擴散）表述的，於是可得如下的對流擴散方程：

式中DAB為組分A在組分B中的分子擴散係數;rA為單位時間單位體積空間內因化學反應生成組分A的量;CA為組分A的質量濃度；τ為時間；ux、uy和uz分別為流速u的三個分量。上述方程表明，傳質與流動密切相關；只有解得速度分佈之後，才能從對流擴散方程解得濃度分佈，進而求得傳質通量。 ^[2] 

對流擴散方程作為偏微分方程一個很重要的分支，在眾多領域都有着廣泛的應用，如流體力學，氣體動力學等由於對流擴散方程很難通過解析的方法得到解析解，所以通過各種數值方法來求解對流擴散方程在數值分析中佔有很重要的地位在對流擴散方程中，若擴散項在物理過程中起主導作用則用標準有限差分方法以及有限元方法求解就可以得到很好的數值結果但是，若對流項是占主導地位，即對流的影響遠大於擴散的影響，則會給數值求解帶來很多困難，如數值震盪，數值的過度擴散，或者是二者皆有在處理對流佔優的對流擴散方程的數值方法中，很重要的一類方法就是特徵線法。這一方法考慮沿特徵線（流動方向）作離散，利用對流擴散問題的物理學特徵，對於處理具有雙曲性質的對流佔優擴散問題具有無可比擬的優越性它不僅可以從本質上減少非物理震盪和過多的數值彌散，而且對時間步長沒有穩定性限制條件並且沿特徵方向的導數值遠比沿時問方向相應的導數值小。

對於特徵線法，前人已經有了很多數學上的分析以及實際應用上的研究工作上世紀六十年代人們構造了向前追蹤的特徵線方法（直到近年來，人們還在不斷的改進這一方法，並將它們廣泛的應用到許多實際問題這類方法對於相對簡單的問題比較容易實現，但是沿特徵線向前追蹤扭曲了原有空間網格，給計算帶來了很多不便年和在中提出了沿特徵線向後追蹤的修正特徵線法，克服了原有特徵線法的缺點這種方法也得到了廣泛的應用。

一維的對流擴散方程是有解析解的。

二維在特定邊界條件下可以求得解析解。

對流擴散問題的有效數值解法一直是計算數學中重要的研究內容，求解對流擴散方程的數值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限體積法(FVM)、有限解析法(FAM)、邊界元法(BEM)、譜方法(SM)

等多種方法。但是對於對流佔優問題，用通常的差分法或有限元法進行求解將出現數值震盪。

為了克服數值震盪，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell等提出特徵修正技術求解對流擴散佔優的對流擴散問題，與其它方法相結合，提出了特徵有限元方法、特徵有限差分方法、特徵混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出過一種沿流線方向附加人工黏性的間斷有限元法，稱為流線擴散方法(SDM)。有限差分法、有限元法、有限體積法是工程應用中的主要方法。 ^[3] 

對流擴散方程右端第一項為擴散項，左端第二項則是對流項。由於其方程本身的特點，給建立準確有效的數值求解方法帶來一定的困難。對流和擴散給流體中由流體攜帶的某種物理量的變化過程，可以通過一個無量綱的特徵參數(Peclet數)來描述，Peclet數Pe的定義為：Pe=|ν|L/D。這裏v是對流速度，L是特徵長度，D是物質的擴散係數。如果Pe數較小，即對流效應相對較弱，這類問題中，擴散占主導地位，方程是橢圓型或拋物線型；如果Pe數較大，即溶質分子的擴散相對於流體速度而言是緩慢的，這類問題中，對流佔優，方程具有雙曲型方程的特點。

對於對流佔優問題的求解，採用常規的Galerkin有限元方法，為了避免求解結果產生數值振盪，獲得穩定解，則應使每個單元的局部Peclet數，Peh=|ν|h/D≤2，這裏h為單元的最大尺寸，|v|為單元中的最大速度分量值。因此，用本文方法求解對流佔優對流擴散問題，要得到穩定解，則要通過加密有限元網格來實現。

用有限元方法求解依賴於時間的問題，通常的做法是在空間區域上採用有限元方法，而在時間方向上採用有限差分格式以往人們提出的算法大都是限制在空間區域的固定有限元網格上然而，在許多實際問題中，往往需要在不同的時問層採用不同的有限元空間例如，火焰的傳播，油水前沿面問題等因此，許多數學家和工程師都把目光放在採用動態有限元空間這一方法上，而且也提出了許多動態有限元方法梁國平在給出了一般拋物問題的變網格有限元方法，這種方法的主要思路是根據需要對不同的時間層採用不同的空間網格，並把上一時間層的近似解投影到當前時間層然後作為當前層的初始值；而後又基於座標變換的思想，提出了適用於任何維數的一般拋物方程以及任何網格的非柱形區域的變網格有限元離散格式楊道奇對拋物問題提出了變網格混合元方法，隨後又將該方法推廣到多孔介質可混溶驅動問題袁益讓教授討論了非線性對流擴散問題的變網格方法。

眾所周知，特徵線方法對於處理具有雙曲性質的對流佔優擴散問題具有無可比擬的優越性它不僅可以從本質上減少非物理震盪和過多的數值彌散，而且對時間步長沒有穩定性限制條件，並且解沿特徵方向的導數值遠比沿時間方向相應的導數值小兩洪興和在年建立了一種新的特徵線方法這種計算格式在時間步長上具有二階精度，並且是對稱的和無條件穩定的這一章中，我們將這種二階特徵線法與變網格有限元法相結合來給出相應的結論。 ^[4]