工程問題

在教學中，如何讓學生建立正確概念是數學應用題的關鍵。本節課從始至終都以工程問題的概念來貫穿，目的在於使學生理解並熟練掌握概念。

聯繫實際談話引入。引入設懸，滲透概念。目的在於讓學生複習理解工作總量、工作時間、工作效率之間的概念及它們之間的數量關係。初步的複習再次強化工程問題的概念。

通過比較，建立概念。在教學中充分發揮學生的主體地位，運用學生已有的知識“包含除”來解決合作問題。

合理運用強化概念。學生在感知的基礎上，於頭腦中初步形成了概念的表象，具備概念的原型。一部分學生只是接受了概念，還沒有完全消化概念。所以編擬了練習題，目的在於通過學生運用，來幫助學生認識、理解、消化概念，使學生更加熟練的找到了工程問題的解題方法。在學生大量練習後，引出含有數量的工作問題，讓學生自己找到問題的答案。

在日常生活中，做某一件事，製造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等，都要涉及到工作總量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數量關係是 ——工作效率×時間=工作總量。

在小學數學中，探討這三個數量之間關係的應用題，我們都叫它們做“工程問題”。

舉一個簡單例子：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成，問兩人合作幾天可以完成？

一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作1，所謂工作效率，就是單位時間內完成的工作量，我們用的時間單位是“天”，1天就是一個單位，

再根據基本數量關係式，得到

工作量÷工作效率=工作時間

1÷（1/15+1/10）

=6（天）

答：兩人合作需要6天.

這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發展產生的。為了計算整數化（儘可能用整數進行計算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設份額。還是上題，10與15的最小公倍數是30。設全部工作量為30份，那麼甲每天完成2份，乙每天完成3份，兩人合作所需天數是 :

30÷（2+ 3）= 6（天）

如果用數計算，更方便。

3：2.或者説“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶15=2∶3

1.工作效率×時間=工作總量 2.工作效率=工作總量÷工作時間 3.工作時間=工作總量÷工作效率。

二：等量代換：方程組的解法→代入法，加減法。

三：按勞分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配。

四：休息請假：

方法：1.分想：劃分工作量。2.假設法：假設不休息。

五：休息與週期：

1.已知條件的順序：①先工效，再週期，②先週期，再天數。

2.天數：①近似天數，②準確天數。

3.列表確定工作天數。

六：交替與週期：估算週期，注意順序！

七：注水與週期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。

八：工效變化。

九：比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運用，4.假設法思想(週期)。

十：牛吃草問題：1.新生草量，2.原有草量，3.解決問題。

.當知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也可以靈活解答。

因此，在下面例題的講述中，不完全採用通常教科書中“把工作量設為整體1”的做法，而偏重於“整數化”或“從比例角度出發”，也許會使我們的解題思路更靈活一些。

一、兩個人的問題

標題上説的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.

●例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。現在甲先做了3天，餘下的工作由乙繼續完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？

解一：把這件工作看作1，甲每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的1/3。

乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天）

答：乙需要做4天可完成全部工作.

解二：9與6的最小公倍數是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成餘下工作所需時間是

（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.

解三：甲與乙的工作效率之比是

6∶ 9= 2∶ 3.

甲做了3天，相當於乙做了2天.乙完成餘下工作所需時間是6-2=4（天）.

●例2一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？

解：共做了6天后，

原來，甲做 24天，乙做 24天，

現在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

這説明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的

（倍）

甲做6天相當於乙做

（天），

如果乙獨做，所需時間是 6+4+40=50天。

如果甲獨做，所需時間是

天

答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.

●例3某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成。現在甲先單獨做42天，然後再由乙來單獨完成，那麼乙還需要做多少天？

解：先對比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天.

就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率

是乙工作效率的

（倍）.

甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），

相當於乙要做

（天）

因此，乙還要做

28+28= 56（天）.

答：乙還需要做56天。

●例4一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？

解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量

餘下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數是

2+8+ 1= 11（天）.

答：從開始到完工共用了11天.

解二：設全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之後，還需兩隊合作

（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.

解三：甲隊做1天相當於乙隊做3天.

在甲隊單獨做 8天后，還餘下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當於乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天后，還餘下（乙隊）6-2=4（天）工作量.

4=3+1，

其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天.

解四：

甲隊每天工作量為1/10，乙為1/30，因為甲休息了2天，而乙休息了8天，因為8>2，所以我們假設甲休息兩天時，乙也在休息。那麼甲開始工作時，乙還要休息：8-2=6(天）那麼這6天內甲獨自完成了這項工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量為1-6/10=4/10，而這剩下的4/10為甲乙兩人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以從開始到完工共需：8+3=11(天）

●例5一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？

解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 （1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3

由於兩隊休息期間未做的工作量是4/3-1=1/3

乙隊休息期間未做的工作量是 1/3-1/20×3=11/60

乙隊休息的天數是 11/60÷(1/30)=11/2

答：乙隊休息了5天半.

解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

兩隊休息期間未做的工作量是

（3+2）×16- 60= 20（份）.

因此乙休息天數是

（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.

解三：甲隊做2天，相當於乙隊做3天.

甲隊休息3天，相當於乙隊休息4.5天.

如果甲隊16天都不休息，只餘下甲隊4天工作量，相當於乙隊6天工作量，乙休息天數是

16-6-4.5=5.5（天）.

●例6有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那麼這兩項工作都完成最少需要多少天？

解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.

設乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數），張每天完成4份，李每天完成3份.

8天，李就能完成甲工作.此時張還餘下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

8+4=12（天）.

答：這兩項工作都完成最少需要12天.

●例7一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，甲的工效就會降低20%，乙的工效也會降低 10%。他們要8天完成這項工程，兩人合作天數儘可能少，那麼兩人要合作多少天？

解：設這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

兩人合作，共完成

3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.

因為兩人合作天數要儘可能少，獨做的應是工作效率較高的甲.因為要在8天內完成，所以兩人合作的天數是

（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

很明顯，最後轉化成“雞兔同籠”型問題.

●例8甲、乙合作一件工作，由於配合得好，甲的工作效率比單獨做時快

如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？

解：乙6小時單獨工作完成的工作量是

乙每小時完成的工作量是

兩人合作6小時，甲完成的工作量是

甲單獨做時每小時完成的工作量

甲單獨做這件工作需要的時間是

答：甲單獨完成這件工作需要33小時.

這一節的多數例題都進行了“整數化”的處理.但是，“整數化”並不能使所有工程問題的計算簡便. 例8就是如此.例8也可以整數化，當求出乙每

有一點方便，但好處不大.不必多此一舉.

二、多人的工程問題

我們説的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題複雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.

●例9一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？

解：設這件工作的工作量是1.

甲、乙、丙三人合作每天完成

減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成

答：甲一人獨做需要90天完成.

例9也可以整數化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？

●例10一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然後由乙接着做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接着做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終於做完了這件工作.問總共用了多少天？

解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

説明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），三人一共做了

2+6+12=20（天）.

答：完成這項工作用了20天.

本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了

●例11一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？

解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當於乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要

答：甲獨做需要26天.

事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當於乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完成.

●例12某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？

解一：設這項工作的工作量是1.

甲組每人每天能完成

乙組每人每天能完成

甲組2人和乙組7人每天能完成

答：合作3天能完成這項工作.

解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.

現在已不需顧及人數，問題轉化為：

甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？

小學算術要充分利用給出數據的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數.

●例13製作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現在三個車間一起做，完成後發現甲車間比乙車間多製作零件2400個.問丙車間製作了多少個零件？

解一：仍設總工作量為1.

甲每天比乙多完成

因此這批零件的總數是

丙車間製作的零件數目是

答：丙車間製作了4200個零件.

解二：10與6最小公倍數是30.設製作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

已知

甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.

綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

12∶8∶7.

當三個車間一起做時，丙製作的零件個數是

2400÷（12- 8） × 7= 4200（個）.

●例14搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運.最後兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？

解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現在相當於三人共同完成工作量2，所需時間是

答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.

解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運4.

三人共同搬完，需要

60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）.

甲需丙幫助搬運

（60- 6× 8）÷ 4= 3（小時）.

乙需丙幫助搬運

（60- 5× 8）÷4= 5（小時）.

三、水管問題

從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當於一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間裏的注水量或排水量就是工作效率.至於又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.

例15 甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現在，先打開甲管，10分鐘後打開乙管，經過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？

乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45

因此水池容積是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米）

答：水池容積是27立方米.

例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現在打開其中若干根水管，經過預定的時間的

，再把打開的水管增加一倍，就能按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？

分析：增開水管後，有原來2倍的水管，注水時間是預定時間的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開水管後的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。 設水池容量是1，前後兩段時間的注水量之比為：1：4，

那麼預定時間的1/3（即前一段時間）的注水量是1/（1+4）=1/5。

10根水管同時打開，能按預定時間注滿水，每根水管的注水量是1/10，預定時間的1/3，每根水管的注水量是1/10×1/3=1/30

要注滿水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根）

答：開始時打開6根水管。

例17蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要 4小時，丁管需要6小時，現在水池內有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序輪流打開1小時，問多少時間後水開始溢出水池？

分析：

此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一隻掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這隻青蛙需要多少小時才能爬到井口？

看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時後，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口.

因此，答案是28小時，而不是30小時. 以後（20小時），池中的水已有，否則開甲管的過程中水池裏的水就會溢出.

例18一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？

解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.

2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水

4 × 60= 240（立方米）.

時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是

240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），

8個水龍頭1個半小時放出的水量是

8 × 8 × 90，

其中 90分鐘內流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.

打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其餘將放出原存的水，放空原存的5400，需要

5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.

答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.

水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含着的.

例19一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？

解：設滿水池的水量為1.

A管每小時排出

A管4小時排出

因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是

B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是

答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完.

本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由於不知具體數量，像工程問題不知工作量的具體數量一樣.這裏把兩種水量分別設成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數化，把原有水設為8與12的最小公倍數24.

17世紀英國偉大的科學家牛頓曾寫過《普遍算術》一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術題.從本質上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.

例20有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一樣快。12頭牛4星期吃完第一塊牧場上的草；7頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？

解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數×星期數.根據這一計算公式，可以設定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.

原有草+4星期新長的草=12×4.

原有草+9星期新長的草=7×9.

由此可得出，每星期新長的草是

（7×9-12×4）÷（9-4）=3.

那麼原有草是

7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.

對第三片牧場來説，原有草和18星期新長出草的總量是

這些草能讓

90×7.2÷18=36（頭）

牛吃18個星期.

答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.

例20與例19的解法稍有一點不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：“打開B管，10小時可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數量關係.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？

“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現.限於篇幅，我們只再舉一個例子.

例21畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多.如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達時間是8點幾分？

解：設一個入場口每分鐘能進入的觀眾為1個計算單位.

從9點至9點9分進入觀眾是3×9，

從9點至9點5分進入觀眾是5×5.

因為觀眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是

（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.

9點前來的觀眾是

5×5-0.5×5=22.5.

這些觀眾來到需要

22.5÷0.5=45（分鐘）.

答：第一個觀眾到達時間是8點15分.

挖一條水渠，甲、乙兩隊合挖要六天完成。甲隊先挖三天，乙隊接着挖一天，可挖這條水渠的3/10，兩隊單獨挖各需幾天？

分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30

2÷(3/10-1/6)

=2÷4/30

=15(天)

1÷(1/6-1/15)=10(天)

答:甲單獨做要15天,乙單獨做要10天。