伴隨表示

給定李羣G，g∈G，則g對應的共軛為李羣同態τ_g:=L_g○R_g-1:G→G，由於G的李代數𝖌同構於T_eG，故τ_g*e∈GL(𝖌)，記為Ad_g。則Ad:G→GL(𝖌)為李羣同態，稱為G的伴隨表示。

Ad:G→GL(𝖌)於單位處的導數為李代數𝖌的伴隨表示ad:𝖌→𝖌𝖑(𝖌)，即對∀U∈𝖌，ad_U=Ad_*eU，故有ad_UV=[U,V]。 ^[6] 

定義1，設𝖌是域F上的李代數，V是域F上的線性空間，𝖌𝖑(V)是V上的一般線性代數。如果存在一個線性映射ρ：

並且滿足條件：

則稱(ρ,V)是李代數𝖌的表示，其中ρ稱為表示變換（也常簡稱為表示），V稱為表示空間（也稱為𝖌模），V的維數 dim V 稱為表示維數。

如果dim V <∞，(ρ,V)稱為𝖌的有限維表示。如果 dim V=∞，(ρ,V)稱為𝖌的無限維表示。

定義2，設(ρ,V)是李代數𝖌的表示，如果ρ(x)=0當且僅當x=0，則稱(ρ,V)是𝖌的忠實表示。若 dim V<∞，則(ρ,V)稱為𝖌的有限維忠實表示。 ^[5] 

Ado定理，每一個特徵0的域上的有限維李代數𝖌都有一個忠實的有限維表示。

其實，每一個李代數𝖌都有一個很自然的，以其自身作為空間的表示，這就是下面的伴隨表示。

設𝖌是李代數，取定x∈𝖌，定義 ad x 在𝖌上的作用如下：

由於[·,·]是雙線性的，當y跑遍𝖌時，x就決定了𝖌上的一個線性變換ad x（這個線性變換的作用空間為𝖌，有時為了強調這一點，將它表示為 ad_𝖌 x，但在大多數情況下，只要不會引起誤會，為了簡化符號就把加註的𝖌省略掉，而直接寫成ad x）。於是

是作用在向量空間𝖌上的線性變換的集合。易見

所以

是𝖌到ad 𝖌的線性映射。

根據定義1知，

是𝖌的表示，表示空間為𝖌自身，表示變換為ad（稱為伴隨變換或伴隨作用），將此表示記為(ad,𝖌)，稱之為𝖌的伴隨表示。 ^[5] 

（1）伴隨表示的核是𝖌的中心，即Ker(ad)=Z(G)，因此

其中Z(G)為G的中心。

（2）𝖌是中心為0的李代數，當且僅當

。 ^[5] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。 ^[2] 

研究多項式方程組在仿射或射影空間裏的公共零點集合的幾何特性的數學分支學科.換言之，它是研究代數簇的.代數幾何與許多其他數學分支有着密切的聯繫.通常假設代數簇V中點的座標在某個固定域k中選取，k稱為V的基域.V為不可約(即V不能分解成兩個比它小的閉代數子簇的並)時，V上所有有理函數(即兩個多項式的商)全體也構成一個域，稱為V的有理函數域，它是k的一個有限生成擴域.通過這樣的一個對應關係，代數幾何可以看成是用幾何的語言和觀點來研究有限生成擴域.

代數幾何的基本問題就是代數簇的分類.包括雙有理分類與雙正則分類(即同構分類).若一個代數簇V1到另一個代數簇V2的映射誘導了函數域之間的同構，則稱該映射為雙有理映射.設有兩個代數簇V1，V2，若V1中有一個稠密開集同構於V2的一個稠密開集，則稱V1，V2是雙有理等價的.這等價於V1和V2的函數域之間的同構.按這個等價關係對代數簇進行分類就稱為雙有理分類.分類理論是這樣建立的：首先，找出代數簇的雙有理等價類;其次，在這個等價類中找到一個好對象的子集，如非奇異射影簇，對它們進行分類;第三步就是確定一個任意簇與這些好的對象相差多遠.因為任意特徵0的基域上的代數簇都雙有理等價於一個非奇異射影簇，所以為實現這三步，人們往往先找一組與非奇異射影簇對應的整數，稱為它的數值不變量.例如，在射影簇的情形，它的各階上同調空間的維數就都是數值不變量.然後試圖在所有具有相同的數值不變量的代數簇的集合上建立一個自然的代數結構，稱為它們的參量簇，使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時，對應的代數簇也在相應的代數結構中變化，只有代數曲線、一部分代數曲面以及少數特殊的高維代數簇有較完整的分類。 ^[3] 

代數羣（Algebraic group）是具有某種拓撲結構的羣。代數羣理論是羣論與代數幾何學結合的產物，可以看成李羣理論的推廣或者同李羣理論平行的一個羣論分支。若G是代數閉域K上的代數簇，又具有羣的結構，且乘法運算G×G→G(這裏的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數羣。若G作為簇是不可約的，則稱此代數羣是連通的。代數羣的閉子簇若同時也是個子羣，則稱為閉子羣，它仍是個代數羣。代數羣關於它的正規閉子羣的商羣也是個代數羣。例如，K上n級一般線性羣(K上n級非奇異矩陣全體所成的羣)GL(n，K)是代數羣；K上n次特殊線性羣(K上行列式1的n階矩陣全體所成的羣)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子羣。若代數羣G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數羣或線性代數羣。採用後一術語的理由是，這種羣都同構於某個GL(n，K)的閉子羣.若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的羣結構很簡單(都是阿貝爾羣)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數羣G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子羣N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數羣理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數羣，並把仿射代數羣簡稱代數羣。代數羣及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李羣、李代數、有限單羣理論以及羣表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。 ^[4]