仿射幾何學

平面仿射幾何主要研究平面圖形在仿射變換下不改變的性質。

仿射羣是由那些使矩陣為可逆矩陣的映射組成的平面的變換羣。這樣的變換稱為仿射變換。

仿射空間中最重要的變換是仿射變換，它的特徵是將共線的三點變為共線的三點。給定仿射座標系後，仿射變換有明確的代數表示。仿射變換全體構成的變換羣稱為仿射變換羣。仿射變換下重要的不變性質和不變量有：共線性、平行性、平行線段的長度比等。

如果在仿射平面（或空間）中引入無窮遠點，並且將它們與原有點不加區別，則就成為射影平面（或射影空間）。在射影平面（或射影空間）中指定一條（或一個）直線l（或超平面π），那麼射影變換羣中保持l（或π）不動的變換就構成一個與仿射變換羣同構的變換子羣。從這個意義上講，仿射變換羣就是射影變換羣的子羣，而仿射幾何也就成為射影幾何的子幾何。

平面上的仿射變換可以看成是連續施行有限回兩個平面之間的平行投影所得到的平面上點之間的一一對應，也可以説仿射變換是一個平行投影“鏈”。比如，由連續施行平面π到π₁，π₁到π₂，π₂到π₃，再從π₃回到π的共四次平行投影得到的平面π上點之間的對應，例如A，B，C的對應點為A′，B′，C′，這個對應就是平面π上的一個仿射變換。

平面上的仿射變換由三對不共線的對應點完全確定。線段的長度和二直線的夾角在仿射變換下一般都要改變。但共線三點A，B，C組成的兩個有向線段AC和BC的量的比AC/BC（稱為A 、B 、C 的簡比）在仿射變換下是不改變的，它是仿射變換最基本的不變量。二直線平行這個性質在仿射變換下也不改變。平面上兩個封閉圖形的面積之比，在仿射變換下也是不變的。

從幾何上來説，可以在空間中取有限多個平面

,並在每個面上進行平行投射，然後將P和Q上被映射成的點等化便得到了一個仿射變換。 ^[1] 

若一個圖形經過仿射變換變成另一個圖形，就説這兩個圖形是仿射等價的。

例如：所有的三角形都與正三角形仿射等價，所有的平行四邊形都與正方形仿射等價，所有的橢圓都與圓仿射等價，所有的雙曲線都與等軸雙曲線仿射等價。

在仿射幾何中，互相仿射等價的圖形是不加區別的。 ^[1]