cuscore

趨勢變化識別

對於一個已知分佈的隨機過程，圖一. 顯示了一系列樣本函數的基本趨勢，斜率為1.0，同時一個斜率為1.3的變化（突變）移動，從時間10的地方開始出現。為了識別出樣本函數隨機變量的趨勢變化，將Cuscore統計量定義為

Q=Σ[y(t)-βt]t ；其中y(t)是一系列的觀測值，β是斜率（也就是觀察的時間序列值在每個時間單位的變化率），t為時間指數。Cuscore值形成的圖形如圖二所示。

這種統計識別方法揭露和展示了斜率上的變化所呈現出來的證據。當斜率從初始值1.0增加30%變為1.3，其變化的幅度應該很明顯的。30%已經很接近1/3的程度，是一個很大的變化，應該引起我們的注意，但我們很難在圖一中t=10的地方識別出變化趨勢。

帶噪聲數據趨勢識別

當觀測值並沒有落在指定的數學曲線上時，如圖三加入了隨機的噪聲，並依然按照30%的變化率轉變，Cuscore統計量比無噪聲數據顯現了更強的趨勢增強信號。

在圖四中，ABC這條線是一個趨勢變化的原型。第一個線段AB的斜率為0.5，而第二個線段BC的斜率為1.5。虛線BD是直線AB的延長線。虛線AE與直線BC平行，斜率也是1.5。當斜率發生變化，觀測值就會偏離基礎模型（也就是沒有斜率變化）的期望值。順着直線BC，y的值超過了直線BD的期望值，隨着時間地不斷增加。在圖五中，我們根據Q值的累計偏差，就可以得到如曲線1所示的圖形。

現在我們假設事先不知道直線AB與BC的斜率，也不知道在B點的斜率發生了變化。假設我們最好的理解是，從A點開始應該出現一個1.0的斜率，如直線AC所示。在圖五中，Cuscore統計量顯示為曲線2的圖形。Cuscore統計量的圖形差異極大。根據這個假設的基礎模型，得到的偏差序列，可以明顯看出趨勢的斜率發生了變化。 ^[1] 

數據監控

對自相關數據的監控，可先對數據擬合一個合適的時間序列模型，然後運用此模型來消除自相關性，對殘差進行統計過程控制 監控。 但是這些控制圖都忽略了故障表徵的動態特性。因此，我們使用Cuscore統計量來進行預期信號的識別。

首先，構建如下模型

其中yi是觀測值，xi是已知的輸入變量，γ 是失控信號的某個未知參數，ai ～ N( 0，σ2a) ，則對數

似然函數為

其中c 為不依賴於γ 的常數。 則有效得分統計量為

為令式(1)中γ = γ0時ai的取值，di為探測信號(detector) 。 將Cuscore 統計量定義為

當Cuscore 統計量用於監控過程信號時，使用下面的公式監控Cuscore 統計量的正向和負向變化

如果Qt+或Qt-超限，就認為過程失控 ^[2] 

金融序列變化率識別

為了在一個股票的價差序列中，為了識別出其中的突變移動，可以運用Cuscore統計量增加的速率來找到突變的時間節點。

首先，為了量化金融時間序列的變化率，我們使用指數加權移動平均（EWMA，Exponentially Weighted Moving-Average），來計算局部的平均值（實際操作中應當平移幾個時間單位長度）

在圖六中，EWMA一直低估了實際的序列值；這是移動平均值或者指數加權移動平均值的顯著特徵，他們的目的不是用來描述持續的趨勢。因此，從序列的一開始，Cuscore統計量逐漸變大。Cuscore統計量就是新的斜率與舊的斜率（直線BC-BD之間的垂直差異）之間的差異，如圖六中的p-q所示。以估計的水平來説，從初始趨勢線AB延長到BD產生p-q，會被EWMA產生的p-r取代，這個偏差值很小。斜率變化後，會降低Cuscore統計量的變化靈敏度。也就是説，延遲平均值的更新，可以恢復Cuscore統計量的靈敏度。如圖六中，在Cuscore統計量從p-r增加到p-s，非常接近我們想要的p-q。 ^[1]