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斜率

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斜率,數學名詞,是表示一條直線(或曲線的切線)關於(橫)座標軸傾斜程度的量。它通常用直線(或曲線的切線)與(橫)座標軸夾角的正切,或兩點的縱座標之差與橫座標之差的比來表示。 [1] 
斜率又稱“角係數”,是一條直線對於橫座標軸正向夾角的正切,反映直線對水平面的傾斜度。一條直線與某平面直角座標系橫座標軸正半軸方向所成的角的正切值即該直線相對於該座標系的斜率。如果直線與x軸互相垂直,直角的正切值為tan90°,故此直線不存在斜率(也可以説直線的斜率為無窮大)。當直線L的斜率存在時,對於一次函數y=kx+b(斜截式),k即該函數圖像的斜率。 [2] 
中文名
斜率
外文名
slope
別    名
角係數
表達式
k=tanα,k=Δy/Δx
適用領域
解析幾何
應用學科
數學
幾何學

斜率定義

斜率亦稱“角係數”,表示在平面直角座標系中一條直線對橫座標軸的傾斜程度的量。
直線對x軸的傾斜角α的正切值tanα稱為該直線的“斜率”,並記作k,公式為k=tanα。規定平行於x軸的直線的斜率為零,平行於y軸的直線的斜率不存在。對於過兩個已知點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直線,若x1≠x2,則該直線的斜率為 k=(y1-y2)/(x1-x2)。 [3] 

斜率相關公式

當直線L的斜率存在時,斜截式
。當x=0時,y=b。
當直線L的斜率存在時,點斜式
對於任意函數上任意一點,其斜率等於其切線與x軸正方向所成角的正切值,即k=tanα。
斜率計算:直線
,斜率
設直線
,則有
① 兩條垂直相交直線的斜率相乘積為-1:
=-1;
② 兩條平行直線的斜率相等:

斜率涉及範圍

斜率課標

在義務教育階段,學生學習了一次函數,它的幾何意義表示為一條直線,一次項的係數就是直線的斜率,只不過當直線與x軸垂直的時候無法表示。雖然沒有明確給出斜率這個名詞,但實際上思想已經滲透到其中。
在高中階段對必修一以及必修二當中都討論了有關直線問題,選修一還有選修二也都提到了與直線相關的一些問題。上述列舉的內容,實際上都涉及到了斜率的概念,因此可以説斜率這個概念是學生逐漸積澱下來的一個重要的數學概念之一。
斜率是中學數學的重要知識點,對於任意分數y/x,都可以看成點P(x,y)與原點O(0,0)連線的斜率,同時涉及到初中數學的坡度i=tanθ=y/x和一次函數y=kx+b中的待定係數k,而高中數學中的直線、等差數列、導數等方面的知識更與斜率密切相關,斜率既是代數問題,同時又有它的幾何意義,體現了數形結合的數學思想。 [5] 

斜率數學

斜率
斜率(3張)
首先就是從實際意義看,斜率就是坡度,是高度的平均變化率,用坡度來刻劃道路的傾斜程度,也就是用坡面的切直高度和水平長度的比,相當於在水平方向移動一千米,在切直方向上升或下降的數值,這個比值實際上就表示了坡度的大小。
其次,從傾斜角的正切值來看;還有就是從向量看,是直線向上方向的向量與x軸方向上的單位向量的夾角;最後是從導數這個視角來再次認識斜率的概念,這裏實際上就是直線縱座標隨橫座標的瞬時變化率。認識斜率概念不僅僅是對今後的學習起着很重要的作用,而且對今後學習的一些數學的重要的解題的方法,也是非常有幫助的。

斜率教材

從大綱來看,教材在處理直線的斜率這一部分知識的時候,首先講直線的傾斜角,然後再講直線的斜率,之後再來引入經過直線上的兩點的斜率公式的推導;從新課程標準來看,可以看到人教版A版的教材是先講直線的傾斜角,然後再講直線的斜率,只不過在處理上,是以問題的提出的形式來説。

斜率物理學

高中物理課需要利用平均速度、瞬時速度、加速度等物理量與時間(或者其他物理量)的圖像對物理現象和物理過程進行分析、求解與推算。
通過圖像與座標對規律、趨勢進行定量研究,在大學的理科、工科、商科也被廣泛使用。

斜率推導、理解公式

斜率可以幫助人們更好地推導、理解公式以及其他各個方面。

斜率不同場景的斜率

(1)顧名思義,“斜率”就是“傾斜的程度”。斜坡上兩點A,B間的垂直距離h(鉛直高度)與水平距離l(水平寬度)的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母i表示,即
,通常坡度i用分子為1的分數來表示,即
,其中m叫做邊坡係數 [4]  。如果把坡面與水平面的夾角α叫做坡角,那麼 坡度越大⇔α角越大⇔坡面越陡,所以i=tanα可以反映坡面傾斜的程度。
如今人們學習的斜率k,等於所對應的直線(有無數條,它們彼此平行)的傾斜角(只有一個)α的正切,可以反映這樣的直線對於x軸傾斜的程度。
“斜率”的概念與工程問題中的“坡度”是一致的。
(2)解析幾何中,要通過點的座標和直線方程來研究直線通過座標計算求得,使方程形式上較為簡單。如果只用傾斜角一個概念,那麼它在實際上相當於反正切函數值arctan k,難於直接通過座標計算求得,並使方程形式變得複雜。
(3)座標平面內,每一條直線都有唯一的傾斜角,但不是每一條直線都有斜率,傾斜角是90°的直線(即x軸的垂線)沒有斜率。在今後的學習中,經常要對直線是否有斜率分情況進行討論。

斜率曲線斜率

曲線的上某點的斜率則反映了此曲線的變量在此點處的變化的快慢程度。
曲線的變化趨勢仍可以用過曲線上一點的切線的斜率即導數來描述。導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。
當f'(x)>0時,函數在該區間內單調遞增,曲線呈向上的趨勢;當f'(x)<0時,函數在該區間內單調減,曲線呈向下的趨勢。
在區間(a, b)中,當f''(x)<0時,函數在該區間內的圖形是凸(從上向下看)的;當f''(x)>0時,函數在該區間內的圖形是凹的

斜率重要性

斜率,是中學生學習的一個非常重要的概念。為什麼説它重要,下面我們可以從以下幾個方面來看:
第一個,從課標的這個角度,我們可以知道在義務教育階段,學習了一次函數,它的幾何意義表示為一條直線,一次項的係數就是直線的斜率,只不過當直線與X軸垂直的時候無法表示。雖然沒有明確給出斜率這個名詞,但實際上思想已經滲透到其中。在高中階段對必修一以及還有必修二當中都討論了有關直線問題,選修一還有選修二也都提到了與直線相關的一些問題。上述列舉的內容,實際上都涉及到了斜率的概念,因此可以説斜率這個概念是學生逐漸積澱下來的一個重要的數學概念之一。
第二個,從數學的視角,可以從以下四個角度來理解如何刻劃一條直線相對於直角座標系中X軸的傾斜程度。首先從實際意義看,斜率就是我們所説的坡度,是高度的平均變化率,用坡度來刻劃道路的傾斜程度,也就是用坡面的鉛直高度和水平長度的比,相當於在水平方向移動一千米,在鉛直方向上升或下降的數值,這個比值實際上就表示了坡度的大小。這樣的例子實際上很多,比如樓梯及屋頂的坡度等等。其次,從傾斜角的正切值來看;還有就是從向量看,是直線向上方向的向量與X軸正向的單位向量的夾角的正切值;最後是從導數這個視角來再次認識斜率的概念,這裏實際上就是直線的瞬時變化率。認識斜率概念不僅僅是對今後的學習起着很重要的作用,而且對今後學習的一些數學的重要的解題的方法,也是非常有幫助的。
第三個,從教材這個視角看。(1)從大綱來看,教材在處理直線的斜率這一部分知識時,先講直線的傾斜角,再講直線的斜率,之後再引入經過直線上的兩點的斜率公式的推導。(2)從新課程標準來看,人教版A版的教材是先講直線的傾斜角,再講直線的斜率,只不過在處理上,是以問題的提出的形式來説。首先,過點P可以做無數條直線,那麼它都經過點P,於是組成了一個直線束。這些直線的區別在哪兒呢,容易看出它們的傾斜程度都不同。因此提出問題:如何刻畫這些直線的傾斜程度呢?以直線l與x軸相交時,以x軸作為一個基準,x軸的走向與直線l向上的方向之間所成的角α定義為直線l的傾斜角。還討論了傾斜角的取值範圍,提出日常生活中與傾斜程度有關的量,讓學生們來自己舉例子,比如身高與前進量的比、進二升三與進二升二進行比較。如果用傾斜角這個概念,則坡度實際上就是傾斜角α的正切值,它就刻畫了直線的一個傾斜程度,這裏要特別強調的是傾斜角不是90度的直線都有斜率。由於傾斜角不同,直線的斜率不同,因此可以用傾斜角表示直線的傾斜程度,然後引導同學們去探索如何用過直線上的兩個點來推導有關直線的斜率公式,同樣在這裏牽扯到有關的傾斜角是0度到90度、以及傾斜角是90度、還有90度到180度不同取值範圍的斜率的表達形式。(3)人教版,在這裏再次提到了直線的斜率的概念,但只不過是在總複習題B組當中涉及到有關斜率的提法,用向量的方式來再次提到斜率公式的引進。
第四個,物理學習平均速度,瞬時速度,加速度,電阻、電壓與電流三者關係等時需要運用其求解,推算
第五個,斜率可以幫助學生更好的理解,推導,理解公式以及其他各個方面

斜率應用

一、求直線的傾斜角
二、證明三點共線
三、求參數的範圍;
四、求函數值域(或最值);
五、證明不等式

斜率其他介紹

在現實生活中,“斜率”就是我們所説的“坡度”,也就是坡面的“切直高度”和“水平長度”的比,這個“比值”表示的是“坡度”的大小,也是關於“高度”的“平均變化率”,在生活中常用“坡度”來衡量“傾斜程度”。
如果把這個“傾斜坡度”進行抽象化,置於“平面直角座標系”上去研究,那麼坡面的“切直高度”和“水平長度”的比正好是“三角函數”中的“對邊比斜邊”,也就是“傾斜角”的“正切值”。這就是“三角函數”關於“斜率”的最初等的研究方法,而研究“斜率”的“高等方法”就是“向量”和“導數”。
在數學中,“三角函數”可以看作“向量”在兩個座標上的“投影”。反過來,“向量”的“數量積”可以引出“餘弦三角函數”,而通過“餘弦函數”又可以引出其他“三角函數”。
參考資料
  • 1.    沈以淡.簡明數學詞典:北京理工大學出版社 ,2003-08
  • 2.    中國百科大辭典編委會;袁世全;李修松,蕭鈞,祁述裕等.中國百科大詞典:華夏出版社 ,1990-09
  • 3.    黃煥椿.熱工技術詞典:上海辭書出版社 ,1991-06
  • 4.    中國中學教學百科全書 數學卷   .中國知網.1991-05[引用日期2016-11-21]
  • 5.    周仁國,侯娟娟,陳明.中學數學斜率及其相關問題探討[J].遵義師範學院學報,2021,23(4):144-146