斜率表示一条平面上直线关于坐标轴的倾斜程度，符号为字母k。它通常用直线与坐标轴夹角（倾斜角）的正切来定义，也等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。需要注意的是，当直线与纵坐标轴平行时，斜率不存在。
斜率可以应用在数学、物理、工程、经济等多个领域中，深刻地影响着人们的日常生活。
- 中文名
- 斜率
- 外文名
- slope
- 应用学科
- 数学
- 研究对象
- 平面中的直线
发展历史
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到现在，斜率在现代数学和科学中得到了更大的发展，其在物理学、经济学、工程学等多个领域中都有重要的应用，成为描述变化率的常用工具。
定义
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倾斜角
当直线
直线斜率
当直线
曲线切割斜率
连接函数图象上两点，得到割线；对它们的坐标求差分，得到割线斜率。对该过程取极限，使两点无限靠近，就能得到切线；函数曲线在某一点处的切线斜率被称为导数。
例如对函数
几何意义
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与倾斜方向的关系
当直线斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜，即“向上”。
当直线斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜，即“向下”。
当直线斜率为零时，直线水平，即与x轴平行。
当直线斜率不存在时，直线竖直，即与y轴平行。
直线斜率的绝对值越大，直线越陡峭；直线斜率的绝对值越小，直线越平缓。
特殊位置的关系
平行直线的斜率关系
当两直线平行且与x轴不垂直时，它们的斜率相等；当两直线平行且与x轴垂直时，它们的斜率均不存在。
垂直直线的斜率关系
当两直线垂直且都与x轴不垂直时，它们的斜率之积为-1；当两直线垂直且有一条与x轴垂直时，其斜率不存在，另一条斜率为0。
对称直线的斜率关系
平面上有三条直线且它们的斜率均存在，直线
证明：设直线
等式两侧同时取正切则有
由直线斜率的定义既得
该性质得证。
实际应用举例
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直线方程
平面上的直线可以用方程描述，其中涉及到斜率的直线方程形式包括下列形式。
点斜式
过点
斜截式
斜率为
两点式
平面上有不重合的两点
当
该方程不能表示点A；方程中
物理量图像
一些物理量的图象中的斜率具有物理意义。例如描述物体运动的位移-时间图象上两点的连线斜率表示这段时间内的平均速度；定值电阻的电压-电流图象是一条线段，其斜率即为电阻值。
当两个物理量之间成正比例关系时，其对应的图象是一条过原点的直线。此时两者的比值往往表示了一个新的物理量，在图象中表示为直线斜率。
工程应用
在工程应用相关的图象中，也可以从斜率中读取信息。例如一些机械工作中的特性曲线在某些地方的斜率可以代表机械的特性和工作性能。又例如一些情形（例如火灾探测）中为了识别信号的变化率，会采用斜率算法，来识别信号变化的剧烈程度。
统计学
线性回归模型中，得到的斜率代表了自变量影响因变量的程度。在自变量产生相同变化的前提下，斜率越大，代表因变量的预测变化量越大。
经济学
日常生活
日常生活中遇到的坡、倾斜现象都可以用斜率来度量。在一些地方，人们会用斜率来衡量屋顶面坡度、山坡坡度等。
例题
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例1 经过
解：由斜率与倾斜角的关系得该直线的斜率为
解得
例2 已知直线
解：直线
满足
例3 直线l的斜率为
解：由条件可以写出直线的点斜式方程为
可化为一般式方程为
例4 已知变量
求
应用举例图；图片来源：参考资料[7]第112页 图3-Z-2 [7]显然
扩展概念
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方向导数
特别地，如果l的模长为1，那么
方向导数的定义是一元实函数的导数在多元实函数中的自然推广，它表示了多元函数限制在某个特定方向上后，降维为一元函数后的导数。
如果将多元函数限制在向量的方向上，方向导数即为所得到的曲线的切线斜率。
偏导数
偏导数为多元函数限制在与坐标面平行方向上的曲线的切线斜率。
梯度
对于可求各方向偏导的函数
其在坐标面上的投影即为偏导数。
给定一点，多元函数在该点处梯度的取值是一个向量。可微函数沿该向量的方向导数是最大的，从而可以用于形容该函数在该点处的变化程度。
特殊说明
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在实际应用中，量的数值和计量单位共同决定斜率的物理意义。如果用不同的计量单位来绘制同一个现象下的变化图象，斜率数值会因单位换算比例发生改变（如公里/小时与米/秒的差异）。
根据场景的不同，可以采取不同的措施来规避这一点。例如规定绘制变化曲线的单位使用规范，又例如将斜率规定为带有单位的度量显式标注出来。
为避免引起混乱，经济学家们使用“弹性”来代替斜率：弹性定义为因变量变化的百分比与自变量变换的百分比的比值 [8]。由于百分比是与单位无关的，所以弹性的大小可以更直观地用于比较变化的强弱。
