離散變量

為了表達上的簡潔和方便，用變量表示隨機事件的所有可能的結果，稱為隨機變量。隨機變量的取值與對應的概率值之間的對應關係稱為概率分佈。變量就是可變的數量標誌。變量值就是變量的具體表現，也就是可變數量標誌的數值表現。例如，職工人數是一個變量；某工廠有工人852人，另一個工廠有工人743人，第三個工廠有工人802人，等等，這是工人這個變量的具體數值，也就是變量值。用統計符號表示，X是工人的變量，其變量值為

。必須注意變量和變量值的區別。例如，有工人30人、40人、50人、60人等四個值，要求其平均數。這時，不能説是四個“變量”的平均，因為這裏只有“工人”這一個變量，並沒有四個變量；所以要平均的是這個變量的四個數值，即四個變量值。

變量按其數值表現是否連續，分為連續變量和離散變量。連續變量的數值是連接不斷的，相鄰兩值之間可作無限分割，例如，身高、體重、年齡等都是連續變量。年齡一般雖按整數計算，但如嚴格按出生時間起算，是可以細算到許多位小數的。連續變量的數值要用測量或計算的方法取得。離散變量的各變量值之間都是以整數斷開的，如人數、工廠數、機器台數等，都只能按整數計算。離散變量的數值只能用計數的方法取得。 ^[3] 

可取值能一個個列出來的變量稱為離散變量，可取值能充滿一個區間的變量稱為連續變量。10名患者痊癒人數

及擲幣結果

是離散變量。正常人體温的測定值

是連續變量。

10名患者，服用甲藥痊癒人數

，服用乙藥痊癒人數也是

，可見，僅有隨機變量的可取值無法全面反映藥效，還必須考慮取每一個值的概率。

定義1： 設離散變量

。事件

的概率稱X的概率函數，即

概率函數的對應值表稱概率函數表。圖像稱概率函數圖。概率函數及函數表、圖。都能反映離散變量與概率的對應關係，統稱離散變量的概率分佈，實際問題中簡稱為離散總體。

複雜事件

是基本事件的並事件

其概率

稱為離散變量X的累積概率。 ^[2] 

定理1 若

為離散變量X的概率函數，則累積概率為概率函數之和，即

證明： 由互斥事件加法定理可證。

定理1表示，在x為橫軸．p(x)為縱軸的概率函數圖。累積概率

表示從

到

之間函數線的長度之和。

複雜事件

就是必然事件。從而得到。離散變量的全部函數線長度之和為1。

定義2 事件

的概率稱為隨機變量X的分佈函數。即

由定理1可知。離散變量X的分佈函數

是一種累積概率。等於

及其左邊函數線長度之和。即

離散變量的概率分佈，常用的有二項分佈、泊松(Poisson)分佈。其餘的還有兩點分佈、幾何分佈、超幾何分佈等概率分佈。

二項分佈是基於貝努裏(Bernoulli)試驗的分佈。貝努裏試驗是一種重要的概率模型。是歷史上最早研究的概率論模型之一。有下面兩個特點的試驗稱為貝努裏試驗。即

(1) 對立性：每次試驗的結果只可能是A或

；

(2) 獨立重複性：每次試驗的結果互不影響。且

擲幣(擲正與擲反)、射擊(擊中與不中)、動物試驗(存活與死亡)、藥物療效(有效與無效)、化驗結果(陽性與陰性)等。都是在重複進行貝努裏試驗。

定義3 若

隨機變量X的概率函數為

則稱X服從參數為n，p的二項分佈。記為

或

。 ^[2] 

若在大量的貝努裏試驗中，

很小，則稱這種概率模型為稀有事件概率模型。生三胞胎次數、患癌症人數、自然死亡人數、水中的大腸桿菌數、大氣粉塵數、顯微鏡下微粒個數、放射粒子個數、大量產品中的次品數、搖獎中的一等獎等，都是稀有事件概率模型。

若隨機變量X的概率函數為

則稱X服從參數為

的泊松分佈，記為

或

。

實際問題中，貝努裏試驗在

時，可認為是泊松總體，事件A出現的次數

。在

已知時取

，在

不全知時取

=平均數/單元。

泊松分佈的概率函數圖在

較小時是偏向一側的，隨着

增大，概率函數圖逐漸對稱。 ^[2] 

這裏，介紹離散變量的二點分佈、幾何分佈、超幾何分佈。

定義4： 設

離散變量X的概率函數為

則稱X服從參數為

的二點分佈。

定義5： 設

離散變量X的概率函數為

則稱X服從參數為P的幾何分佈。

定義6： 設

離散變量X的概率函數為

則稱X服從超幾何分佈。 ^[2]