泊松分佈

泊松分佈（Poisson distribution），台譯卜瓦松分佈（法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution，譯名有泊松分佈、普阿松分佈、卜瓦松分佈、布瓦松分佈、布阿松分佈、波以松分佈、卜氏分配等），是一種統計與概率學裏常見到的離散機率分佈（discrete probability distribution）。泊松分佈是以18～19 世紀的法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年時發表。這個分佈在更早些時候由貝努裏家族的一個人描述過。

泊松分佈的概率函數為：

泊松分佈的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生次數。 泊松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數。

泊松分佈的期望和方差均為

特徵函數為

當二項分佈的n很大而p很小時，泊松分佈可作為二項分佈的近似，其中λ為np。通常當n≧20,p≦0.05時，就可以用泊松公式近似得計算。

事實上，泊松分佈正是由二項分佈推導而來的，具體推導過程參見本詞條相關部分。

在實際事例中，當一個隨機事件，例如某電話交換台收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性物質發射出的粒子、顯微鏡下某區域中的白血球等等，以固定的平均瞬時速率λ（或稱密度）隨機且獨立地出現時，那麼這個事件在單位時間（面積或體積）內出現的次數或個數就近似地服從泊松分佈P(λ)。因此,泊松分佈在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都佔有重要的地位。（在早期學界認為人類行為是服從泊松分佈，2005年在nature上發表的文章揭示了人類行為具有高度非均勻性。）

泊松分佈適合於描述單位時間（或空間）內隨機事件發生的次數。如某一服務設施在一定時間內到達的人數，電話交換機接到呼叫的次數，汽車站台的候客人數，機器出現的故障數，自然災害發生的次數，一塊產品上的缺陷數，顯微鏡下單位分區內的細菌分佈數等等。 ^[1] 

觀察事物平均發生m次的條件下，實際發生x次的概率P（x）可用下式表示：

例如採用0.05J/㎡紫外線照射大腸桿菌時，每個基因組（～4×10核苷酸對）平均產生3個嘧啶二聚體。實際上每個基因組二體的分佈是服從泊松分佈的，將取如下形式：

……

是未產生二體的菌的存在概率，實際上其值的5%與採用0.05J/㎡照射時的大腸桿菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修復又不能重組修復的二重突變）的生存率是一致的。由於該菌株每個基因組有一個二體就是致死量，因此

就意味着全部死亡的概率。 ^[2] 

泊松分佈是最重要的離散分佈之一，它多出現在當X表示在一定的時間或空間內出現的事件個數這種場合。在一定時間內某交通路口所發生的事故個數，是一個典型的例子。泊松分佈的產生機制可以通過如下例子來解釋。

為方便記，設所觀察的這段時間為[0,1),取一個很大的自然數n，把時間段[0,1)分為等長的n段：

做如下兩個假定：

1. 在每段

內，恰發生一個事故的概率，近似的與這段時間的長

成正比，可設為

。當n很大時，

很小時，在

這麼短暫的一段時間內，要發生兩次或者更多次事故是不可能的。因此在

這段時間內不發生事故的概率為

。

2.

各段是否發生事故是獨立的

把在[0,1)時段內發生的事故數X視作在n個劃分之後的小時段

內有事故的時段數，則按照上述兩個假定，X應服從二項分佈

。於是有

注意到當

取極限時，有

因此

從上述推導可以看出：泊松分佈可作為二項分佈的極限而得到。一般的説，若

,其中n很大，p很小，因而

不太大時，X的分佈接近於泊松分佈

。這個事實有時可將較難計算的二項分佈轉化為泊松分佈去計算。

階乘特點以及泰勒公式使得一類期望的計算十分簡便