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超幾何分佈
鎖定
超幾何分佈是統計學上一種離散概率分佈。它描述了從有限N個物件（其中包含M個指定種類的物件）中抽出n個物件，成功抽出該指定種類的物件的次數（不放回）。稱為超幾何分佈，是因為其形式與“超幾何函數”的級數展式的係數有關。
[1]
超幾何分佈中的參數是N,n,M，上述超幾何分佈記作X~H(N,M,n)。
[6]
超幾何分佈定義
產品抽樣檢查中經常遇到一類實際問題，假定在N件產品中有M件不合格品，即不合格率
。
在產品中隨機抽n件做檢查，發現k件不合格品的概率為
，k=t，t+1，…，s。其中s是M與n中的較小者，t在n不大於合格品數（即n≤N-M）時取0，否則t取n減合格品數之差（即t=n-(N-M)）
[5]
。
亦可寫作
（與上式不同的是M可為任意實數，而C表示的組合數M為非負整數）
（1）超幾何分佈的模型是不放回抽樣。
（2）超幾何分佈中的參數是N,n,M，上述超幾何分佈記作X~H(N,n,M)。
超幾何分佈應用
超幾何分佈示例
已經知道某個事件的發生概率，判斷從中取出一個小樣本，該事件以某一個機率出現的概率問題。
例：在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其餘為白球，這些球除顏色外完全相同。遊戲者一次從中摸出5個球。摸到至少4個紅球就中一等獎，那麼獲一等獎的概率是多少？
解：由題意可見此問題歸結為超幾何分佈模型。
其中N = 30. D = 10. n = 5.
P（一等獎） = P(X=4) + P(X=5)
由公式
,k=0,1,2,...得：
P（一等獎） = 106/3393
超幾何分佈期望
引理一：
引理二：
引理證明：它們均可用恆等式（1+x）M-1(1+x)N-M=(1+x)N-1兩邊的展開式中含xn-1項的係數相等證明。僅以（2）中n≤M的情形證明如下：
的展開式中含xn-1項的係數為（注意N-M
）
定理證明：當M=N=1時，X的分佈列P（X=1）=1，且有n=1，可得此時欲證成立。
當M=1，N≥2時，X的分佈列為：
所以
（引理一(2)）
下證M≥2時也成立，又分兩種情形：
（1）又當n≤N-M時，X的分佈列見超幾何分佈的定義有
（2）又當n＞N-M時，X的分佈列見超幾何分佈的定義有
超幾何分佈方差
證明：D(X)=E(X2)-E(X)2 （此公式利用定義式簡單展開即得）
（2）當
時，超幾何分佈的數學期望
（4）當
時，超幾何分佈近似為二項分佈。
超幾何分佈函數代碼
超幾何分佈計算函數
function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN)
for k=kkk to n
AA=1
BBA=1
BBB=1
lll=n
for i= 0 to k-1
BBA=BBA*(MM-i)/(NN-i)
next
for j= k to n
BBB=BBB*(NN-MM-j+k)/(NN-j)
next
BBs=BBB*BBA
if lll-k>k then
x=K
Else x=lll-k
end if
for i=1 to x
lll=lll-1
next
HYPGEOMDIST=HYPGEOMDIST+BBS
next
end function
response.write HYPGEOMDIST（200,2200,1000,17000)
%>
