雙曲餘弦函數

從原點發出的射線與單位雙曲線（方程：

）相交於點（cosh a,sinh a)。這裏的a為射線、雙曲線和x軸圍成的面積的兩倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。其中，cosh a就是a的雙曲餘弦函數。

經過複雜的計算可以推出：

。

雙曲餘弦函數的定義域為

。 ^[1]  值域為[1,

)。當x=0時，取到最小值1。

雙曲餘弦函數在定義域內是偶函數。 ^[1]  可以證明。

取x的負值。又得：

根據加法交換律，可得出

。根據偶函數的定義，可知該函數是偶函數。它關於y軸對稱。

雙曲餘弦函數y=cosh x，在區間

內它是單調減少的，在區間

內它是單調增加的。cosh 0=1是該函數的最小值。 ^[1] 

可以用導數證明。

由於分母是永遠大於0的，而分子中

也是永遠大於0。只有

在x=0時是等於0。在x<0時。

<0。在x>0時。

>0。得出當x<0時，雙曲餘弦函數的導數永遠小於0。當x>0時，雙曲餘弦函數的導數永遠大於0。那麼它在

內單調遞減的，在

內單調遞增。在x=0時，最小值為1。無最大值。

無論是雙曲餘弦函數y=cosh x，還是雙曲正弦函數y=sinh x、雙曲正切函數y=tanh x，它們都不是週期函數。

由於

那麼雙曲餘弦函數的二階導數為

可見雙曲餘弦函數的二階導數是它本身。而雙曲餘弦函數的值域是[1,

)。那麼雙曲餘弦函數的二階導數在實數集R上恆大於0。

而根據函數凹凸性的判定方法（定理）：

設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內具有一階導數和二階導數，那麼：

（1）若在（a,b）內，

，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。

（2）若在（a,b）內，

，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。 ^[2] 

根據上面的函數凹凸性判斷定理。得出那麼無論是在那個單調區間，雙曲餘弦函數都是凹函數

雙曲餘弦函數的導數是雙曲正弦函數。即

也可以轉化為

^[3]  其中，C為常數。可見，雙曲餘弦函數的不定積分，除去常數C，也是雙曲正弦函數。

另有公式

(這裏，大寫的C為常數）

另外，關於雙曲餘弦函數還有如下的公式：

(其中，C為任意常數） ^[4] 

雙曲餘弦函數的泰勒展開式為：

即：

雙曲餘弦函數的反函數是反雙曲餘弦函數。它記作arcoshx。根據反函數的定義，它的定義原本應該是：

其中，x滿足條件：

。

反雙曲餘弦函數的圖像原本有x軸上方的一支和x軸下方的一支。即且這兩支關於x軸對稱。但是，這樣子會造成一個自變量x對應兩個函數值，不符合函數的定義。

為了符合函數的定義，一般取x軸上方的那一支。因而得到了反雙曲餘弦函數的定義式。

雙曲餘弦的反函數，即反雙曲餘弦函數y=arcoshx的定義域為[

),它在區間[

)上是單調增加的。 ^[5] 

如上圖。它是一條有點像拋物線（二次）但不是拋物線的曲線。因這條曲線與兩端固定的繩子（或鐵鏈）在均勻引力作用下下垂相似。這條曲線稱作懸鏈線。懸鏈線就是雙曲餘弦函數的圖像。

懸鏈線的數學表達式為

。其中，a為常數。當a=1時，所得的函數（圖像）正好是雙曲餘弦函數（圖像）。

兩角和和兩角差的公式

sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy

sinh(x-y)=sinhxcoshy-coshxsinhy

cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy

cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy ^[1] 

二倍角公式

雙曲餘弦和雙曲正弦的二倍角公式。

三倍角公式

推導：

1、雙曲正弦的三倍角公式：

2、雙曲餘弦的三倍角公式：

半角公式

雙曲餘弦以及雙曲正弦的半角公式有：

恆等式

等式1：

等式1的證明：

等式2：

（雙曲正切的定義式，與三角函數中的正切類似）

等式3：

（雙曲函數和指數函數的關係）

等式4：

（雙曲函數和指數函數的關係）