變分學講義

變分學是數學分析的一個重要組成部分，是一門與其他數學分支密切聯繫、並有廣泛應用的數學學科。近幾十年來，變分學不論是在理論上還是在應用中都有了很大發展，與數學其他分支的聯繫也更加緊密，已經成為大學數學教育不可缺少的部分。 ^[1] 

《變分學講義》全書共二十講，分為三大部分：第一部分（一到八講）是經典變分學的基本內容，第二部分（九到十四講）重點介紹直接方法及其理論基礎，第三部分（十五到二十講）是專題選講。其材料的選取，內容的編排，問題與概念的表述，以及證明的分析與講解均極具特色。 ^[1] 

《變分學講義》適用於數學及相關專業的本科生、研究生、教師以及研究人員，也可供工科、經濟學、管理學等專業的教師和學生使用參考。 ^[1] 

作者張恭慶(5張)

張恭慶，數學家，1936年5月29日生於上海。1954年上海市南洋模範中學畢業後進入北京大學數學力學系學習，1959年畢業後一直在北京大學數學系、數學科學學院任教。1959–1978年任北京大學數學力學系助教，由於其突出的貢獻，1978年5月和1983年2月，由北京大學分別破格晉升為副教授和教授，1991年當選中國科學院院士，1994年當選第三世界科學院(現發展中國家科學院)院士。 曾任北京大學數學研究所所長、數學與應用數學重點實驗室主任，中國數學會理事長。 ^[1] 

1978年越級升副教授，1983年升教授，後被評為博士生導師。1978年底作為我國第一批赴美訪問學者。曾先後多次到歐美著名大學及研究所訪問與講學。1984年被國家遴選為“有突出貢獻的中青年科學家”，1990年被授予“全國高校先進科技工作者”稱號。 ^[1] 

第一講 變分學與變分問題

§1.1 前言

§1.2 泛函

§1.3 典型例子

§1.4 進一步的例子

第二講 euler-lagrange方程

§2.1 函數極值必要條件之回顧

§2.2 euler-lagrange方程的推導

§2.3 邊值條件

§2.4 求解euler-lagrange方程的例子

第三講 泛函極值的必要條件與充分條件

§3.1 函數極值的再回顧

§3.2 二階變分

§3.3 legendre-hadamard條件

§3.4 jacobi場

§3.5 共軛點

第四講 強極小與極值場

§4.1 強極小與弱極小

§4.2 強極小值的必要條件與weierstrass過度函數

§4.3 極值場與強極小值

§4.4 mayer場,hilbert不變積分

§4.5 強極小值的充分條件

§4.6 定理4.4 的證明(n]1的情形)

第五講 hamilton-jacobi理論

§5.1 程函與carath eodory方程組

§5.2 legendre變換

§5.3 hamilton方程組

§5.4 hamilton-jacobi方程

§5.5 jacobi定理

第六講 含多重積分的變分問題

§6.1 euler-lagrange方程的推導

§6.2 邊值條件

§6.3 二階變分

§6.4 jacobi場

第七講 約束極值問題

§7.1 等周問題

§7.2 逐點約束

§7.3 變分不等式

第八講 守恆律與noether定理

§8.1 單參數微分同胚與noether定理

§8.2 能動張量與noether定理

§8.3 內極小

§8.4 應用

第九講 直接方法

§9.1 dirichlet原理與極小化方法

§9.2 弱收斂與弱收斂

§9.3 弱列緊性

§9.4 自反空間與eberlein-schmulyan定理

第十講 sobolev空間

§10.1 廣義導數

§10.2 空間wm,p(ω)

§10.3 泛函表示

§10.4 光滑化算子

§10.5 sobolev空間的重要性質與嵌入定理

§10.6 euler-lagrange方程

第十一講 弱下半連續性

§11.1 凸集與凸函數

§11.2 凸性與弱下半連續性

§11.3 一個存在性定理

§11.4 擬凸性

第十二講

線性微分方程的邊值問題與特徵值問題

§12.1 線性邊值問題與正交投影

§12.2 特徵值問題

§12.3 特徵展開

§12.4 特徵值的極小極大刻畫

第十三講 存在性與正則性

§13.1 正則性(n=1)

§13.2 正則性續(n]1)

§13.3 幾個變分問題的求解

§13.4 變分學的侷限

第十四講 對偶作用原理與ekeland變分原理

§14.1 凸函數的共軛函數

§14.2 對偶作用原理

§14.3 ekeland變分原理

§14.4 fr'echet導數與palais-smale條件

§14.5 nehari技巧

第十五講 山路定理及其推廣與應用

§15.1 山路(mountainpass)定理

§15.2 應用

第十六講 週期解、異宿軌與同宿軌

§16.1 問題

§16.2 週期解

§16.3 異宿軌

§16.4 同宿軌

第十七講 測地線與極小曲面

§17.1 測地線

§17.2 極小曲面

第十八講 變分問題的數值方法

§18.1 ritz方法

§18.2 有限元

§18.3 cea定理

§18.4 最優化方法——共軛梯度法

第十九講 最優控制問題

§19.1 問題的提法

§19.2 pontryagin極大值原理

§19.3 bang-bang原理

第二十講 有界變差函數與圖像恢復

§20.1 一元有界變差函數的回顧

§20.2 多元有界變差函數

§20.3 鬆弛函數

§20.4 圖像恢復與rudin-osher-fatemi模型

索引 ^[2]