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變分不等式
鎖定
變分不等式(variational inequality)，經典變分問題的推廣和發展，將經典變分問題的約束條件放鬆為某些單邊約束(即用不等式代替等式)的變分方法。變分不等式已被廣泛地應用於經濟領域的均衡問題。運籌學問題及城市交通網絡建模等問題。
- 中文名
- 變分不等式
- 外文名
- variationalinequality
- 所屬學科
- 數理科學
- 應用領域
- 運籌學問題、城市交通網絡建模等
- 定 義
- 將經典變分問題的約束條件放鬆為某些單邊約束(即用不等式代替等式)的變分方法
變分不等式定義
為如下的n×m矩陣
定義如下集合
如果有向量
，對所有的有
有
變分不等式變分不等式的解
變分不等式解的定義
設
為變分不等式
的一個解，如果存在球鄰域
使得對任意的
，存在一個
使得
對於變分不等式問題，我們有如下結論：
變分不等式定理1
變分不等式解的存在性及唯一性
變分不等式定理2
變分不等式定理3
變分不等式問題
有唯一局部解的充分條件：在滿足定理2的條件基礎上，如果F是可微的，並且滿足：
，對於所有的y≠0，使得
對所有
對所有
對所有的
則
就是變分不等式的唯一局部解。
變分不等式定理4
變分不等式變分不等式問題的求解方法
此處介紹求解變分不等式問題的一個著名的迭代算法，一般稱為鬆弛算法(Relaxation Algorithm)。
求解變分不等式問題
鬆弛算法的一般過程：
第一步：初始化。找一個初始可行點
，令n=1。
第二步：鬆弛化。求解如下最優化子問題
第三步：收斂性檢查。如果滿足收斂性，則停止；否則令n=n+1，轉第一步。
在鬆弛算法中，對於固定的y，由於函數Z(x，y)的Hessian陣
是對角陣，故在交通中常常也稱鬆弛算法為對角化算法，對應的最優化子問題被稱為對角化子問題。
