複變函數

複變函數論作為大學數學系的一門重要基礎課，通常包含Cauchy的積分理論、Weierstrass的級數理論和Riemann的幾何理論這三部分內容.本書作為這樣一門課程的教材，就是以這三大塊內容為中心來編寫的，但在材料的取捨上與傳統的教材略有不同.例如，在第3章全純函數的積分表示中，我們除了介紹全純函數的Cauchy積分公式外，還對非全純的函數(僅要求f的實部和虛部有一階連續偏導數)建立了Cauchy積分公式，並用它得到一維 問題的解，再利用這個解在第5章中給出了Mittag-Leffler定理、Weierstrass因子分解定理和插值定理的證明，通過這些證明，使讀者瞭解 問題的解是構造全純函數的重要工具，而這在以往的教材中是不被重視的.又如，在介紹調和函數理論(第8章)的同時，我們還介紹了次調和函數的基本理論，因為次調和函數的理論在眾多的其他數學分支中要遇到.再如，在本書的最後一章中介紹了多復變數全純函數和全純映射的一些基本性質.

在以往的教學中，曾有學生問：在微積分中，講完單變量微積分，還要講多變量微積分，為什麼在複變函數課程中沒有多變量函數的理論?這是一個很自然的問題，但回答起來並不容易.我們增添這樣一章的目的，是要使學生了解單復變與多復變有許多本質的不同，在內容上和研究方法上都是如此.在多複分析已經成為數學研究的主流方向之一的今天，讓學生們瞭解一些多復變最基本的知識是必要的.我們認為Riemann面屬於另外一門課程的內容，很難在這樣一本教材中説清楚，乾脆就不提它了.至於個別定理的取捨，就不在這裏一一介紹了.

書中定理的證明，大部分與傳統的教材相似，只是在編排與敍述方式上有些差別，但也有若干創新之處.例如，在證明Weierstrass關於級數的定理時，我們利用了全純函數f的任意階導數f(n)在緊集K上的模可以用f在K的鄰域上的模來控制這一事實，使證明得以簡化，而且上述事實在別處還要用到.其他如邊界對應定理和Weierstrass因子分解定理的證明，與傳統的證明有更大的差別. ^[1] 

本書包括複數與複變函數、全純函數、全純函數的積分表示、全純函數的Taylor展開及其應用、全純函數的Laurent展開及其應用、全純開拓、共形映射、調和函數和多復變數全純函數等九章內容，講述了複變函數論的基本理論與方法.作為一種嘗試，本書引進了非齊次的Cauchy積分公式，並用它給出了一維問題的解及其應用.本書還扼要地介紹了次調和函數和多複變函數理論.每節後都附有足夠數量的習題，供讀者練習. ^[1] 

本書可作為大學本科數學系各專業複變函數課程的教材，也可供自學者參考.

複變函數理論的基礎是19世紀由三位傑出的數學家Cauchy, Weierstrass和Riemann奠定的，到現在已有一百多年的歷史，這是一門相當成熟的學科.它在數學的其他分支(如常微分方程、積分方程、概率論、解析數論、算子理論及多複變函數論等)和自然科學的相關領域(如流體力學、空氣動力學、電學及理論物理學等)中都有重要的應用.

前言

第1章 複數與複變函數

第2章 全純函數

第3章 全純函數的積分表示

第4章 全純函數的 Taylor 展開及其應用

第5章 全純函數的 Laurent 展開及其應用

第6章 全純開拓

第7章 共形映射

第8章 調和函數與次調和函數

第9章 多復變數全純函數與全純映射

名詞索引 ^[1]