複變函數

本書是作者在大學多年的教學實踐中編寫的.其內容包括複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、級數、留數定理及其應用、共形映射、數學軟件在複變函數中的應用和複變函數發展史八章.前七章配備了較多的例題和習題.書末附有自測題和習題答案. ^[1] 

本書既注意引導讀者用複數的方法處理問題,又隨時指出複數和實數中許多概念的異同點;在結構上既注意了它的完整性和系統性,又注意了它的應用性;同時加入了數學軟件在複變函數中的應用和複變函數發展的歷史材料.本書可作為理工科院校本科各專業複變函數課程的教材或參考書,也可以作為科研人員的 ^[1] 

複變函數

第1章 複數與複變函數1

1.1 複數及其代數運算1

1.1.1 複數的概念1

1.1.2 複數的代數運算1

1.2 複數的幾何表示2

1.2.1 複平面2

1.2.2 復球面8

1.3 複數的乘冪與方根9

1.3.1 乘積與商9

1.3.2 乘冪與方根11

1.4 區域13

1.4.1 區域13

1.4.2 單連通區域與多連通區域15

1.5 複變函數16

1.5.1 複變函數的定義16

1.5.2 複變函數的幾何意義16

1.6 複變函數的極限與連續性19

1.6.1 複變函數的極限19

1.6.2 複變函數的連續性21

小結22

習題1 24

第2章 解析函數28

2.1 複變函數的導數28

2.1.1 導數的定義28

2.1.2 可導與連續的關係29

2.1.3 微分的概念29

2.2 解析函數30

2.2.1 解析函數的概念及其簡單性質30

2.2.2 函數解析的充要條件32

2.3 解析函數與調和函數的關係37

2.4 初等函數40

2.4.1 初等單值解析函數41

2.4.2 初等多值函數44

小結49

習題2 52

第3章 複變函數的積分 55

3.1 複變函數積分的概念55

3.1.1 有向曲線55

3.1.2 複變函數積分的定義56

3.1.3 積分存在條件56

3.1.4 積分的計算57

3.1.5 複變函數積分的基本性質59

3.2 柯西—古薩(Cauchy-Goursat)基本定理60

3.2.1 柯西—古薩基本定理60

3.2.2 原函數與不定積分62

3.3 複合閉路定理65

3.4 柯西積分公式67

3.5 高階導數公式71

小結75

習題3 78

第4章 級數81

4.1 複數項級數81

4.1.1 數列的極限81

4.1.2 複數項級數82

4.1.3 絕對收斂與條件收斂84

4.2 冪級數85

4.2.1 冪級數概念85

4.2.2 冪級數的斂散性86

4.2.3 冪級數的運算和性質90

4.3 泰勒級數91

4.3.1 泰勒定理91

4.3.2 將函數展開成泰勒級數的方法93

4.4 洛朗級數96

4.4.1 雙邊冪級數97

4.4.2 洛朗定理98

4.4.3 將函數展開成洛朗級數的方法99

小結102

習題4105

第5章 留數定理及其應用108

5.1 孤立奇點108

5.1.1 孤立奇點的概念108

5.1.2 各類孤立奇點的判別方法108

5.1.3 函數的零點與極點的關係111

5.1.4 無窮遠點∞是函數的孤立奇點的情形113

5.2 留數定理114

5.2.1 留數的定義及留數定理114

5.2.2 留數的計算方法115

5.2.3 函數在無窮遠點的留數119

5.3 留數定理的應用122

5.3.1 ∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ型積分122

5.3.2 ∫∞-∞R(x)dx型積分124

5.3.3 ∫∞-∞R(x)eaixdx(a＞0)型積分126

5.4 對數留數與輻角原理129

5.4.1 對數留數129

5.4.2 輻角原理130

5.4.3 儒歇(Rouche)定理131

5.4.4 單葉函數的一個性質132

小結133

習題5136

第6章 共形映射139

6.1 共形映射的概念139

6.1.1 解析函數導數的幾何意義139

6.1.2 共形映射的定義及性質139

6.2 幾種簡單的映射142

6.2.1 平移變換142

6.2.2 旋轉與伸縮變換143

6.2.3 倒數變換143

6.3 分式線性映射145

6.3.1 分式線性映射的性質145

6.3.2 幾個典型的分式線性映射148

6.4 初等函數的映射155

6.4.1 冪函數與根式函數所構成的映射155

6.4.2 指數函數與對數函數所構成的映射158

6.4.3 儒可夫斯基函數所構成的映射161

6.5 共形映射的兩個一般性定理165

6.6 施瓦茨—克里斯托費爾映射166

6.7 共形映射在靜電學、熱力學及流體力學中的應用172

小結179

習題6180

第7章 數學軟件在複變函數中的應用183

7.1 Matlab應用基礎183

7.1.1 Matlab編程基礎183

7.2 Matlab在複變函數中的應用185

7.2.1 複數和復矩陣的生成186

7.2.2 複數的運算187

7.2.3 複變函數的極限189

7.2.4 複變函數的求導190

7.2.5 複變函數的定積分191

7.2.6 複變函數的級數193

7.2.7 留數196

7.2.8 拉普拉斯變換及其反變換199

7.2.9 傅里葉變換及其反變換203

7.2.10 複變函數的圖像204

小結207

習題7207

第8章 複變函數發展史210

8.1 瞭解數學史的重要意義210

8.2 複變函數發展史簡述210

8.2.1 複變函數論的發展簡況211

8.2.2 複變函數論的內容212

8.3 複變函數主要內容發展歷程213

8.3.1 複數213

8.3.2 複變函數215

8.3.3 解析函數與復積分216

8.3.4 解析函數的級數220

8.3.5 留數221

8.3.6 共形映射222

8.4 複變函數發展歷程中相關數學家介紹223

8.4.1 歐拉(Euler,L.1707-1783) 223

8.4.2 高斯(Gauss,C.F.1777—1855)224

8.4.3 柯西(Cauchy.A.L.1789—1857)225

8.4.4 魏爾斯特拉斯(Weierstrass.K.T.W.1815—1897) 228

8.4.5 黎曼(Riemann,F.F.B.,1826—1866) 229

小結234

附錄235

附錄Ⅰ 區域映射圖235

附錄Ⅱ 複變函數自測試題242

習題參考答案與提示254

參考文獻261 ^[1]