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舒爾正交關係
鎖定
- 中文名
- 舒爾正交關係
- 外文名
- Schur orthogonality relations
- 分 類
- 羣表示論
- 領 域
- 數理科學
舒爾正交關係有限羣
每個羣有一個單位表示(所有羣元素映為實數 1),這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出
舒爾正交關係例子
三個對象的 3! 個置換組成一個 6 階羣,通常記作
(對稱羣)。這個羣同構於點羣
,由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個羣有一個二維不可約表示(l = 2)。在
情形,通常將這個不可約表示利用楊氏表(楊氏矩陣)記作
而在
情形通常寫成
。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成,每個代表一個羣元素
舒爾正交關係直接推論
矩陣的跡是對角矩陣元素之和,
這幫助我們確認不可約表示
在具有特徵標
的可約表示
中包含的次數。
例如,如果
,這個羣的階是
,則
在給定“可約”表示
中包含的次數是
舒爾正交關係緊羣
有限羣的正交關係推廣為緊羣(包含緊李羣,比如 SO(3))本質上是簡單的:只要將在羣上的求和換成在羣上的積分。每個緊羣G 有惟一一個雙不變哈爾測度,使得羣的體積是 1。
[2]
將這個測度記成
。設
是G的不可約表示的一個完備集合,設
是表示
的矩陣係數。正交關係可以敍述為兩部分 1) 如果
,則:
舒爾正交關係有關例子
體積元素
的計算不僅取決於參數的選取,也取決於最終結果,即加權函數(測度)
的解析形式。
例如,SO(3) 的歐拉角參數化給出權重
而 n, ψ 參數化給出權重t
,其中
。
可以證明一個緊李羣的不可約表示是有限維的並可選成酉的:
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