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正交向量

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“正交向量”是一個數學術語，指點積為零的兩個或多個向量。幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對錶示，大小和方向的概念亦不一定適用。在三維向量空間中， 兩個向量的內積如果是零， 那麼就説這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話説， 兩個向量正交意味着它們是相互垂直的。若向量α與β正交，則記為α⊥β。 [1] 
中文名
正交向量
外文名
orthogonal vectors
類    型
數學術語

目錄

  1. 1 定義
  2. ▪ 向量
  3. ▪ 歐幾里得空間
  4. ▪ 正交
  1. 2 性質
  2. ▪ 性質1
  3. ▪ 性質2
  4. 3 定理
  1. ▪ 定理1
  2. ▪ 定理2

正交向量定義

正交向量向量

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指既有大小又有方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。
箭頭所指：代表向量的方向；
線段長度：代表向量的大小。
與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）。
向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），或者
（即從起點A出發指向終點B的向量）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中用(2,3)表示向量。
在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。 [1] 

正交向量歐幾里得空間

設
是實數域R上的有限維線性空間，在
上定義有被稱為內積的滿足一下四條公理的實函數
，
：
（1）對稱性：
，
=（
，
）；
（2）關於向量加法的線性性質：
，
，
，
；
（3）關於標量乘法的線性性質：
，
，
；
（4）正定性：
，
，而且等號成立當且僅當
。
這裏
，
，
是
的任意向量，k是任意實數。則稱
為歐幾里得空間（Euclidean space），簡稱歐式空間。
歐幾里得空間中兩個非零向量
，
的夾角<
，
>定義為<
，
>=
，因而
。所以向量的內積為
。 [2] 

正交向量正交

如果
=0，則稱向量
與
正交(orthogonal)，也稱垂直(perpendicular)，記為
。 [2] 

正交向量性質

正交向量性質1

對兩個向量x和y有內積性質(x,ky)=k(x,y)。 [3] 

正交向量性質2

設
為n單位正交向量組，則有
。 [3] 

正交向量定理

正交向量定理1

對於歐式空間
的任一基
都可以找到一個標準正交基
。即 任一非零歐式空間都有正交基和標準正交基。 [3] 

正交向量定理2

（勾股定理）如果
，則有
。 [2] 
參考資料
  • 1.    課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心．高中數學（人教A版）必修四：人民教育出版社，2004
  • 2.    陳志傑．高等代數與解析幾何（第二版上冊）：高等教育出版社，2008
  • 3.    基於正交向量的秘密共享方案  ．愛學術[引用日期2017-10-20]