舒爾正交關係

令

是一個 |G| 階（即 G 有 |G| 個元素）有限羣

，的一個不可約矩陣表示

的矩陣元素。因為可以證明任何有限羣的不可約矩陣表示等價於一個酉表示，我們假設

是酉的：

這裏

是表示

的（有限）維數。正交關係，只對不可約表示的矩陣元素成立，是

這裏

是

的複共軛，求和遍及 G 的所有元素。如果兩個矩陣是在同一個不可約表示

，則克羅內克函數

是單位，如果

與

不等價則

為零。其他兩個克羅內克函數則要求行與列的指標必須相等（

和

）才能得到一個非零的結果。這個定義也叫做廣義正交定理。

每個羣有一個單位表示（所有羣元素映為實數 1），這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出

對

，此式對任何不等於單位表示的不可約表示

成立。 ^[1] 

三個對象的 3! 個置換組成一個 6 階羣，通常記作

（對稱羣）。這個羣同構於點羣

，由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個羣有一個二維不可約表示（l = 2）。在

情形，通常將這個不可約表示利用楊氏表（楊氏矩陣）記作

而在

情形通常寫成

。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成，每個代表一個羣元素

元素 (1,1) 的正規化為：

同樣可以證明其它矩陣元素 (2,2)、(1,2) 與 (2,1) 的正規化。元素 (1,1) 與 (2,2) 的正交性：

類似的關係對元素 (1,1) 與 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易驗證此例中所有對應矩陣元素之和為零，因為給定表示與恆等表示的正交性。

矩陣的跡是對角矩陣元素之和，

所有跡的集合

是一個表示的特徵標。通常將一個不可約表示中矩陣的跡寫成

利用這種記號我們可寫出多個特徵標公式：

這可以用來檢驗一個表示是否是可約的（這些公式説明在任意特徵標表中一行是正交向量）。以及

這幫助我們確認不可約表示

在具有特徵標

的可約表示

中包含的次數。

例如，如果

，這個羣的階是

，則

在給定“可約”表示

中包含的次數是

有限羣的正交關係推廣為緊羣（包含緊李羣，比如 SO(3)）本質上是簡單的：只要將在羣上的求和換成在羣上的積分。每個緊羣G 有惟一一個雙不變哈爾測度，使得羣的體積是 1。 ^[2]  將這個測度記成

。設

是G的不可約表示的一個完備集合，設

是表示

的矩陣係數。正交關係可以敍述為兩部分 1) 如果

，則：

2)如果

是表示空間

的一個正交規範基，則：

這裏

是

的維數。這些正交關係以及所有表示的維數有限是彼得-外爾定理的推論。

一個三參數羣的例子是矩陣羣 SO(3)，有所有 3×3 正交矩陣組成。這個羣的一個可能的參數化是利用歐拉角：

。界限是

以及

。

體積元素

的計算不僅取決於參數的選取，也取決於最終結果，即加權函數（測度）

的解析形式。

例如，SO(3) 的歐拉角參數化給出權重

而 n, ψ 參數化給出權重t

，其中

。

可以證明一個緊李羣的不可約表示是有限維的並可選成酉的：

簡記成：

正交關係具有形式：

羣的體積是：

我們注意到 SO(3) 的不可約表示是維格納D-矩陣（Wigner D-matrix）

，它們的維數是

，故：

他們滿足：