簡化模型

簡化模型（simplifled model） 指對所建的極力模型通過細緻的分析和簡化，所得到的較為簡單的模型。簡化的方法有：將非線性模型簡化為線性模型;將高階模型簡化為低階模型；將分佈參數模型簡化為集中參數模}，忽略系統中一些非主要的影響因素，就主要影響因素建立的模型；將時變參數模型簡化為非時變參數模型；將一般非線性模型簡化為特殊非線性模型，比如雙線性模型等。 ^[1] 

在科學領域，模型對客觀現實的事物的某些特徵與內在聯繫，所作的一種模擬或抽象。

為了研究一個過程或事物，可以通過在某些特徵(形狀或結構等)方面與它相似的“模型”來描述或表示。模型可以是所研究對象的實物模型，例如建築模型、教學模型、玩具等；也可以是對象的數學模型*，例如公式或圖形等。它能反映出有關因素之間的關係。在數學上，具體的函數或關係、歐氏幾何*、羣*、布爾代數*等各種結構，都可以作為數學模型。可以説，數學就是對數學模型所進行的研究。

一個數學結構，如果它使得公理化系統中的每個公式在其中都能解釋為真，那麼稱此數學結構為這個系統的一個模型。一個公理系統的模型，不一定是惟一的。 ^[2] 

研究規模龐大、結構複雜、目標多樣、功能綜合、因素眾多的工程與非工程大系統的自動化和有效控制的理論。大系統指在結構上和維數上都具有某種複雜性的系統。具有多目標、多屬性、多層次、多變量等特點。如經濟計劃管理系統、信息分級處理系統、交通運輸管理和控制系統、生態環境保護系統以及水源的分配管理系統等。大系統理論是70年代以來，在生產規模日益擴大、系統日益複雜的情況下發展起來的一個新領域。它的主要研究課題有大系統結構方案，穩定性、最優化以及模型簡化等。大系統理論是以控制論、信息論、微電子學、社會經濟學、生物生態學、運籌學和系統工程等學科為理論基礎，以控制技術、信息與通信技術、電子計算機技術為基本條件而發展起來的。大系統的自動化和有效控制，常用多級遞階系統和分散控制系統兩種形式。其手段是“大系統的分析與綜合”。 ^[3] 

大系統理論研究的主要內容和成果有：

1.大系統的建模及模型簡化。其中最主要的成果是大系統的模型降階方法，包括時域中各種模型集結方法和頻域中各種模型近似匹配降階方法。

2.大系統的穩定性分析.其中最主要的成果是用向量李亞普諾夫方法與加權和李亞普諾夫方法導出的以各孤立子系統的穩定性和子系統間關聯項刻畫的各種大系統穩定性判據，以及M矩陣在簡化這些判據中的應用。

3.大系統的控制研究.其中最主要的成果是關於利用局部信息進行大系統分散控制和固定模與分散控制關係的研究，及其以分解-協調方法為基礎的大系統各種遞階優化算法的研究。

大系統沒有嚴格的數學定義.文獻中研究的大系統有如下特點：

1.規模龐大.通常系統中含有許多小系統，或跨越很大空間。

2.結構複雜.各小系統可能分級，控制採用的信息可分散，也可集中，分散信息又可分為完全分散或部分分散等。

3.功能綜合.對一個大規模系統性能的評價是多指標、綜合性的，大規模系統必須具備各種功能才能達到預期性能。大小和複雜程度是個相對概念，隨着科學技術的發展，對大規模系統的理解也可能發生變化。 ^[4] 

簡化模型技術分為兩大類：一類是在傳遞函數模型上進行簡化，或稱頻域簡化；另一類則是在狀態空間模型上進行簡化，或稱時域簡化。

頻域簡化技術主要有時間矩匹配、帕德近似、勞斯近似、連分式展開等。

以帕德近似為例

帕德近似(Pade approximation)是有理函數逼近的一種方法。帕德近似就是是法國數學家亨利·帕德發明的有理多項式近似法。帕德近似往往比截斷的泰勒級數準確，而且當泰勒級數不收斂時，帕德近似往往仍可行，所以多用於在計算機數學中。

可用於大規模系統在頻域的降階.設G(s)是系統的傳遞函數，對G(s)進行冪級數展開得

G（s）=

Pade近似的主要缺點是：即使原系統是穩定的，簡化模型甚至會出現不穩定。推究其原因，在比較係數矩陣時，不僅記入了傳遞函數矩陣的分母，也記入了分子。因此分子各項也直接影響到簡化模型的穩定性。所以儘管此法十分簡單，而且在不少情況下能獲得較好的近似模型，但是並不處處可用。一般説來當穩定的高階系統)(sG的分子多項式無零點，逼近過程中kl,，即)(sP的分母多項式係數只與)(sG的分母多項式係數有關，)(sP能夠保持)(sG的穩定性。

時域簡化技術主要有集結法、攝動法等。

1968年，Aoki在主特徵值簡化模型的基礎上，提出了降階的集結法，此法是從矩陣A中抽取r個主特徵值，建立簡化模型。簡化模型的狀態向量Z和原系統的狀態向量X，通過常量集結矩陣K相聯繫：

Z=K.X

這表明：Z不一定是物理上存在的狀態變量，而是原狀態變量中要保持的模式的某一確定的線性組合。集結法實質上是主特徵值法簡化線性系統的推廣。

所謂攝動法實質上是將原系統的高階模型中的一些內部關係或者參數忽略掉，從而得出低階的簡化模型。通常有兩類攝動法：一類針對弱耦合系統，稱作非奇異攝動；另一類針對強耦合系統，稱作奇異系統。

網格模型簡化的實質是: 在儘量保證簡化前後模型特徵變化最小的情況下 ,尋求最少數量三角形網格模型的簡化表示方法。網格模型簡化過程通常為: 對給定的原始模型 Mo , 根據誤差測度的大小，在一定的條件約束下，對 Mo 進行一系列的簡化基本操作，最後得到簡化後的網格模型 Ms。從上述簡化過程可以看出,模型簡化涉及到簡化基本操作的實現、簡化誤差測度的確定和約束條件的控制和實現等主要技術和方法。

刪減法是目前算法中採用最多的一種模型簡化基本操作。該方法通過重複依次刪除對模型特徵影響較小的幾何元素並重新三角化來達到簡化模型的目的。根據刪除的幾何元素的不同, 通常又可以分成頂點刪除(Vertex removal)法、邊摺疊(Edge collapse)法和三角面片摺疊(Triangle col-lapse)法等。

採樣方法首先將頂點(Vertex)或體素(Voxels)添加到模型表面或模型的三維網格上, 然後根據物理或幾何誤差測度進行頂點或體素的分佈調整 ，最後在一定的約束條件下 ，生成儘可能與這些頂點或體素相匹配的簡化模型。採樣法適合於無折邊 、 尖角和非連續區域的光滑曲面的簡化, 對於非光滑表面模型簡化效果較差。

自適應子分法通過構造簡化程度最高的基網格模型(Base model)，然後根據一定的規則 ,反覆對基網格模型的三角面片進行子分操作，依次得到細節程度更高網格模型 ,直到新生成的

網格模型與原始模型誤差達到給定的閾值。自適應子分法算法簡單、實現方便等特點，但只適合於容易求出基網格模型的一些應用( 如地形網格模型簡化等)，另外簡化模型對於具有尖角和折邊等特徵的保持效果較差。

頂點聚類方法根據一定的規則，將原始網格模型中的兩個或多個頂點合併成一個頂點，並刪除合併頂點後的退化三角形，從而到達簡化網格面片數量，實現網格模型的簡化的目的。邊摺疊法也可以看成是頂點聚類法中兩個頂點合併的情況。頂點聚類法能處理任意拓撲類型的網格模型，算法簡單，速度較快。 但由於簡化誤差控制困難，容易丟失較小結構的細節，因此通常簡化模型的質量不高。

多邊形合併(Polygon merging)

多邊形合併法通過將近似共面的三角網格面片合併成一個平面，然後對形成的平面重新三角化，來實現減少頂點和麪片數量的目的。也被稱為面片聚類(Face clus-ter)和超面(Superfaces)法。該方法在合併和三角化過程中可能改變孔洞結構，因此不能保證簡化前後模型的拓撲結構。 ^[5]