積分變換

通過參變量積分將一個已知函數變為另一個函數。已知ƒ(x)，如果

存在（其中，α、b可為無窮），則稱F(s)為ƒ(x)以K(s,x)為核的積分變換。

積分變換無論在數學理論或其應用中都是一種非常有用的工具。最重要的積分變換有傅里葉變換、拉普拉斯變換，此外還有梅林變換和漢克爾變換，它們都可通過傅里葉變換或拉普拉斯變換轉化而來。傅里葉變換和拉普拉斯變換的詳細介紹參考相關詞條，這裏就不再贅述。

當K(s,x)=xs_1，x>0，而ƒ(x)定義於[0，+∞)，函數（式(1)）：

稱為ƒ(x)的梅林變換，式中s=σ+iτ為複數。M(s)的梅林反變換則定義為（式(2)）：

這裏積分是沿直線Res=σ進行的。

(1)式與(2)式在一定條件下互為反演公式。例如，設(1)絕對收斂，在任何有限區間上ƒ(x)是有界變差的，且已規範，則由(1)可推得(2)，在l2(0,∞)空間中也有類似結果。

若以M(s,ƒ′)表示ƒ′(x)的梅林變換，則在一定條件下，有：

在一定條件下,還有下列梅林交換的卷積公式：

式中с>Res。

一些簡單函數的梅林變換如下圖所示：

設Jγ(x)為у階貝塞爾函數（見特殊函數），ƒ(x)定義於[0，+∞)，則稱（式(3)）：

為ƒ(x)的у階漢克爾變換；而稱（式(4)）：

為h(t)的漢克爾反變換。有的作者代替(3)與(4)改用 與

效果是一樣的。在一定條件下，(3)與(4)成為一對互逆公式，此外，還有：

一些簡單函數的漢克爾變換如下圖所示：

（1）定積分：設閉區間[a,b]上有n-1個點，依次為a=x0<x1<x2…<xn-1<xn=b，它們把[a,b]分成n個小區間△i=[xi-1,xi],i=1,2,…，n.這些分點或這些閉子區間構成對[a,b]的分割，記為T={x0，x2，…，xn}或{△1，△2,…△n}，小區間△i的長度為△xi=△xi-△xi-1，並記‖T‖=MAX{△Xi}，稱為分割T的模。 ^[1] 

（2）不定積分；

（3）反常積分；

（4）重積分；

（5）曲線積分；

（6）曲面積分。

本書是由刁元勝編著的。本書介紹瞭如何用積分變換的方法來簡化數學問題中難以求解的問題。積分變換是通過積分的方法，把一個函數變換為另一個函數。對不同的變換選取不同的形式。這種變換是一一對應的，否則做逆變換的時候就不能得到唯一的解，不符合工程上解得唯一性原則，這樣，積分變換就不具有實用價值。

附錄 ^[1]