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確界原理
鎖定
- 中文名
- 確界原理
- 外文名
- supremum and infimum principle
- 提出者
- 波爾查諾(Bolzano,B.)
- 提出時間
- 1817年
- 適用領域
- 實數完備性
- 應用學科
- 數學
確界原理確界定義
上界和下界
顯然,所有大於M的數都是S的上界,所有小於m的數都是S的下界。因此一個數集的上界(或下界)不是唯一的。
上確界和下確界
設非空數集S有上界,若存在實數β滿足以下兩個條件:
①
,有
;(即β是S的一個上界)
②
,有
。(即再小一點就不是上界)
則稱實數β為S的上確界,記為
。
同理,若存在實數α滿足以下兩個條件:
①
,有
;(即α是S的一個下界)
②
,有
。(即再大一點就不是下界)
則稱實數α為S的下確界,記為
。
注意:S的上確界(或下確界)可能屬於S,也可能不屬於S。當上確界(或下確界)屬於S時,不難證明上確界(或下確界)就是S中的最大數(或最小數)。
確界原理確界描述
確界原理:任一有上界的非空實數集必有上確界(最小上界);同樣任一有下界的非空實數集必有下確界(最大下界)。
實數的這個性質是波爾查諾(Bolzano,B.)於1817年發現的。
確界原理確界證明
由戴德金定理證明非空有上界數集必有上確界,非空有下界數集必有下確界同理。
設S為一非空有上界數集,即
成立。取數集B為S所有上界的集合,A=CRB。則:
①由取法可知
,故
。
,故
,因此
。
②
。
③∵A中任何元素都不是S的上界,∴
。
又∵B中任何元素都是S的上界,∴
。
故必有
。
假設η是A中的最大值,即
,那麼,
。
又∵
,∴
。
但,
,與B中任何元素都是S的上界矛盾。
∴η是B中的最小值,即S有最小上界(上確界)。
確界原理確界信息
若把+∞和-∞補充到數集當中,並規定任意一實數a與+∞,-∞的關係為-∞<a<+∞,則確界的概念可擴充為:若數集S無上界,則規定+∞為S的非正常上確界,記做sup S=+∞;若S無下界,則定義-∞為S的非正常下確界,記做inf S=-∞,相應的,若S有上確界或者下確界,則此定義分別成為正常上確界和正常下確界。
即: 任意一非空數集必有上確界和下確界(包括正常的和非正常的)
確界原理確界應用
柯西審斂原理:數列{xn} 收斂的充要條件是,
,
,當
時,有
。
證明:
必要性:(略,可參考相應詞條)
因{xn}是柯西序列,
,
,當
時,有
。
現構造一個集合S,集合S中的元素x滿足:在區間
上最多有{xn}的有限項且至少有一個{xn}的項。顯然
,於是S非空;而S又是有界的,M是一個上界。這是因為假設M不是上界,即存在
,使得
,即
,與S的定義不符。
根據確界原理,S存在上確界,設
,現證
。
因{xn}是柯西序列,由定義,對上述的ε,
,令
,當
時,任取某個
,有
∴