直角座標系

座標系所在平面叫做座標平面，兩座標軸的公共原點叫做直角座標系的原點。X軸和Y軸把座標平面分成四個象限，右上面的叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界，橫軸、縱軸上的點不屬於任何象限。在平面直角座標系中可以依據點座標畫出反比例函數、正比例函數、一次函數、二次函數等的圖象。

據説有一天，法國哲學家、數學家笛卡爾生病卧牀，病情很重，儘管如此他還反覆思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數方程結合起來，也就是説能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鈎，他苦苦思索，拼命琢磨，通過什麼樣的方法，才能把“點”和“數”聯繫起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉着絲垂了下來，一會功夫，蜘蛛又順着絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子裏可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裏相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，如果把地面上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那麼空間中任意一點的位置就可以用這三根數軸上找到有順序的三個數。反過來，任意給一組三個有順序的數也可以在空間中找出一點P與之對應，同樣道理，用一組數（x、y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以有用一組兩個有順序的數來表示，這就是座標系的雛形。

直角座標系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋樑，它使幾何概念用數來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示。由此笛卡爾在創立直角座標系的基礎上，創造了用代數的方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何， 他大膽設想：如果把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特徵的點組成的。舉一個例子來説，我們可以把圓看作是動點到定點距離相等的點的軌跡，如果我們再把點看作是組成幾何圖形的基本元素，把數看作是組成方程的解，於是代數和幾何就這樣合為一家人了 。

①互相垂直 ②原點重合 ③通常取向右、向上為正方向 ④單位長度相同。 ^[1] 

平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角座標系（rectangular coordinate system）。水平的數軸稱為x軸（x-axis）或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸為y軸（y-axis）或縱軸，取向上方向為正方向；兩個座標軸的交點為平面直角座標系的原點。 ^[1] 

我們用一對有序數對錶示平面上的點，這對數叫座標。表示方法為（a,b），a是點對應橫軸上的數值，b是點在縱軸上對應的數值。 ^[1] 

建立平面直角座標系後，平面被座標軸分成四部分，分別叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。 ^[1]  （兩軸正半軸的區域為第一象限，象限按逆時針順序排列）

一元二次方程，當K>0時，兩個分支分別位於第一象限和第三象限內，在每個象限內Y隨X的增大而減小；當K<0時，兩個分支分別位於第二象限和第四象限內，在每個象限內，Y隨X的增大而增大。

當X的絕對值無限增大或接近於零時，反比的兩個分支都無限接近X軸Y軸，但絕不和X軸，Y軸相交。

還有著名的心形線。 ^[2] 

心形線，是一個圓上的固定一點在它繞着與其相切且半徑相同的另外一個圓周滾動時所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名。 ^[3] 

心臟線亦為蚶線的一種。在曼德博集合正中間的圖形便是一個心臟線。心臟線的英文名稱“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》發表的；意為“像心臟的”。

在平面直角座標系xOy中設∠β的始邊為x軸的正半軸，設點P（x，y）為∠β的終邊上不與原點O重合的任意一點，設r=OP，令∠β=∠α，則： ^[4] 

sin r=y/r

cos r=x/r

tan r=y/x

cot r=x/y

csc r=r/y

sec r=r/x

1、s=(1/2)*底*高

2、海倫公式:√[p(p-a)(p-b)(p-c) ]其中p=1/2(a+b+c)，s=1/2的周長*內切圓半徑

3、s=1/2absinC,s=1/2acsinB ,s=1/2bcsinA ^[5] 

適用於被積區域Ω不含圓形的區域，且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法

⑴先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。

①區域條件：對積分區域Ω無限制；

②函數條件：對f（x,y,z）無限制。

⑵先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。

①區域條件：積分區域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成；

②函數條件：f（x，y，）僅為一個變量的函數。 ^[6]