滿子範疇

範疇D稱為C的子範疇(sub category)，如果

是

的子類，而且D中的態射的合成和C是一樣的。例如，Poset是Set的子範疇。又如果

，則稱D是C的滿子範疇(full subcategory)。例如，Grp是Mon的滿子範疇。

設S為範疇C的子範疇，若從S到C的包含函子為滿函子，則S稱為C的滿子範疇。 ^[2] 

模範疇對偶性(duality in categories of modules)是模範疇等價的對偶概念。設C和D是兩個範疇，

和

是兩個逆變函子，若有自然等價和，則稱

與

是對偶函子，而稱C與D是對偶範疇。模論中考慮較多的問題是：在模範疇

和

中是否有滿子範疇

和

，以及

和

之間的加性逆變函子

，使得

與

是對偶函子，

和

是對偶範疇，此性質就稱為模範疇的對偶性。

模範疇等價(equivalence of categories of modules)是對模範疇的一種刻畫，存在等價函子的模範疇稱為等價的模範疇。設

是模範疇，若存在加性共變函子

和

使得GF自然同構於

的恆等函子，FG自然同構於

的恆等函子，則稱函子F與G等價，且稱模範疇

與

是等價的，記為

此時，也稱環A與B是森田紀一相似的，記為

。兩個模範疇C，D等價的充分必要條件是，存在全忠實函子

，並且對任意

，總有

，使得

同構於

。模範疇的等價理論是模論的一個重要組成部分，森田紀一(Morita Kiiti)於1958年討論了兩個模範疇的等價和對偶，得到了一系列深刻而又漂亮的結果，森田紀一的工作是經典的阿廷-韋德伯恩定理在模上的推廣，現在他的工作已發展成所謂的森田紀一理論。

森田紀一對偶定理(Morita theorem on duality)是模範疇對偶性的重要定理。設C和D是

和

的滿子範疇，且

，又對任意

，若

，則必有

，這裏

。若

和

是對偶函子，則一定存在雙模

，使得：

1.

2.

3. C和D中每個模都是U自反模。

在一個模範疇中，不可能每一個模都是U自反模，所以模範疇的對偶只能在滿子範疇之間存在。

塞爾子範疇(Serre subcategory)是阿貝爾範疇的一種子範疇，它在同調代數等學科中有重要應用，也是定義商範疇的基礎概念。設C為阿貝爾範疇，D為C的滿子範疇且滿足：對C中任意的正合列

，

當且僅當

且

(即，

當且僅當B的子對象與商對象都是D的對象)，此時稱D為C的塞爾子範疇，塞爾子範疇仍為阿貝爾範疇。

1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發佈。

《數學名詞》第一版。 ^[1]