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混合積
鎖定
- 中文名
- 混合積
- 外文名
- mixed product
- 別 名
- 三重積
- 學 科
- 數學
- 作 用
- 計算六面體的體積
- 定 理
- (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
混合積標量三重積
混合積定義
設
為三個向量,則標量三重積的定義為
.
混合積特性
設
,則有
證明
任意對換兩個向量的位置,標量三重積與原來相差一個負號:
混合積其他記號
有時候,標量三重積會以括號表示:
混合積幾何意義
證明
以 b和 c來表示底面的邊,則根據叉積的定義,底面的面積A為
我們得出結論:
於是,根據點積的定義,它等於
的絕對值,即
證畢。
混合積向量三重積
向量三重積是三個向量中的一個和另兩個向量的叉積相乘得到的叉積,其結果是個向量。
混合積定義
對於三個向量
,向量三重積的定義為
值得注意的是,一般來説,
混合積特性
以下恆等式,稱作三重積展開或拉格朗日公式,對於任意向量
均成立:
英文中有對於第一式有助記口訣BAC-CAB (BACK-CAB,後面的出租車),但是不容易記住第一式跟第二式的變化,很容易搞混。 觀察兩個公式,可得到以下三點:
兩個分項都帶有三個向量 (
)。
三重積一定是先做叉積的兩向量之線性組合。
中間的向量所帶的係數一定為正(此處為向量b)。
混合積應用
計算平行六面體的體積