概率論和數理統計

從隨機現象説起，在自然界和現實生活中，一些事物都是相互聯繫和不斷髮展的。在它們彼此間的聯繫和發展中，根據它們是否有必然的因果聯繫，可以分成截然不同的兩大類：一類是確定性的現象。這類現象是在一定條件下，必定會導致某種確定的結果。舉例來説，在標準大氣壓下，水加熱到100攝氏度，就必然會沸騰。事物間的這種聯繫是屬於必然性的。通常的自然科學各學科就是專門研究和認識這種必然性的，尋求這類必然現象的因果關係，把握它們之間的數量規律。

另一類是不確定性的現象。這類現象是在一定條件下，它的結果是不確定的。舉例來説，同一個工人在同一台機牀上加工同一種零件若干個，它們的尺寸總會有一點差異。又如，在同樣條件下，進行小麥品種的人工催芽試驗，各棵種子的發芽情況也不盡相同，有強弱和早晚的分別等等。為什麼在相同的情況下，會出現這種不確定的結果呢？這是因為，我們説的“相同條件”是指一些主要條件來説的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素又是人們無法事先一一能夠掌握的。正因為這樣，我們在這一類現象中，就無法用必然性的因果關係，對個別現象的結果事先做出確定的答案。事物間的這種關係是屬於偶然性的，這種現象叫做偶然現象，或者叫做隨機現象。

在自然界，在生產、生活中，隨機現象十分普遍，也就是説隨機現象是大量存在的。比如：每期體育彩票的中獎號碼、同一條生產線上生產的燈泡的壽命等，都是隨機現象。因此，我們説：隨機現象就是：在同樣條件下，多次進行同一試驗或調查同一現象，所得結果不完全一樣，而且無法準確地預測下一次所得結果的現象。隨機現象這種結果的不確定性，是由於一些次要的、偶然的因素影響所造成的。

隨機現象從表面上看，似乎是雜亂無章的、沒有什麼規律的現象。但實踐證明，如果同類的隨機現象大量重複出現，它的總體就呈現出一定的規律性。大量同類隨機現象所呈現的這種規律性，隨着我們觀察的次數的增多而愈加明顯。比如擲硬幣，每一次投擲很難判斷是那一面朝上，但是如果多次重複的擲這枚硬幣，就會越來越清楚的發現它們朝上的次數大體相同。

我們把這種由大量同類隨機現象所呈現出來的集體規律性，叫做統計規律性。概率論和數理統計就是研究大量同類隨機現象的統計規律性的數學學科。

概率論的產生和發展

概率論產生於十七世紀，本來是由保險事業的發展而產生的，但是來自於賭博者的請求，卻是數學家們思考概率論中問題的源泉。

早在1654年，有一個賭徒梅累向當時的數學家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏 m局就算贏，全部賭本就歸誰。但是當其中一個人贏了 a (a<m)局，另一個人贏了 b(b<m)局的時候，賭博中止。問：賭本應該如何分法才合理？”後者曾在1642年發明了世界上第一台機械加法計算機。

三年後，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數學家惠更斯企圖自己解決這一問題，結果寫成了《論機會遊戲的計算》一書，這就是最早的概率論著作。

近幾十年來，隨着科技的蓬勃發展，概率論大量應用到國民經濟、工農業生產及各學科領域。許多興起的應用數學，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎的。

概率論和數理統計是一門隨機數學分支，它們是密切聯繫的同類學科。但是應該指出，概率論、數理統計、統計方法又都各有它們自己所包含的不同內容。

概率論——是根據大量同類隨機現象的統計規律，對隨機現象出現某一結果的可能性作出一種客觀的科學判斷，對這種出現的可能性大小做出數量上的描述；比較這些可能性的大小、研究它們之間的聯繫，從而形成一整套數學理論和方法。

數理統計——是應用概率的理論來研究大量隨機現象的規律性；對通過科學安排的一定數量的實驗所得到的統計方法給出嚴格的理論證明；並判定各種方法應用的條件以及方法、公式、結論的可靠程度和侷限性。使我們能從一組樣本來判定是否能以相當大的概率來保證某一判斷是正確的，並可以控制發生錯誤的概率。

統計方法——是以上提供的方法在各種具體問題中的應用，它不去注意這些方法的的理論根據、數學論證。

應該指出，概率統計在研究方法上有它的特殊性，和其它數學學科的不同點主要有：

第一，由於隨機現象的統計規律是一種集體規律，必須在大量同類隨機現象中才能呈現出來，所以，觀察、試驗、調查就是概率統計這門學科研究方法的基石。但是，作為數學學科的一個分支，它依然具有本學科的定義、公理、定理的，這些定義、公理、定理是來源於自然界的隨機規律，但這些定義、公理、定理是確定的，不存在任何隨機性。

第二，在研究概率統計中，使用的是“由部分推斷全體”的統計推斷方法。這是因為它研究的對象——隨機現象的範圍是很大的，在進行試驗、觀測的時候，不可能也不必要全部進行。但是由這一部分資料所得出的一些結論，要全體範圍內推斷這些結論的可靠性。

第三，隨機現象的隨機性，是指試驗、調查之前來説的。而真正得出結果後，對於每一次試驗，它只可能得到這些不確定結果中的某一種確定結果。我們在研究這一現象時，應當注意在試驗前能不能對這一現象找出它本身的內在規律。

概率論的內容

概率論作為一門數學分支，它所研究的內容一般包括隨機事件的概率、統計獨立性和更深層次上的規律性。

概率是隨機事件發生的可能性的數量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現的頻率，在更大的範圍內比較明顯的穩定在某一固定常數附近。就可以認為這個事件發生的概率為這個常數。對於任何事件的概率值一定介於 0和 1之間。

有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結果；第二，各個結果發生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現象叫做“古典概型”。

在客觀世界中，存在大量的隨機現象，隨機現象產生的結果構成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現象的各個結果，就叫做隨機變量。

隨機變量有有限和無限的區分，一般又根據變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。

在離散型隨機變量的概率分佈中，比較簡單而應用廣泛的是二項式分佈。如果隨機變量是連續的，都有一個分佈曲線，實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分佈，它的分佈曲線是有規律的，這就是正態分佈。正態分佈曲線取決於這個隨機變量的一些表徵數，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數學期望，差異度也就是標準方差。

數理統計的內容

數理統計包括抽樣、適線問題、假設檢驗、方差分析、相關分析等內容。抽樣檢驗是要通過對子樣的調查，來推斷總體的情況。究竟抽樣多少，這是十分重要的問題，因此，在抽樣檢查中就產生了“小樣理論”，這是在子樣很小的情況下，進行分析判斷的理論。

適線問題也叫曲線擬和。有些問題需要根據積累的經驗數據來求出理論分佈曲線，從而使整個問題得到了解。但根據什麼原則求理論曲線？如何比較同一問題中求出的幾種不同曲線？選配好曲線，有如何判斷它們的誤差？……就屬於數理統計中的適線問題的討論範圍。

假設檢驗是隻在用數理統計方法檢驗產品的時候，先作出假設，在根據抽樣的結果在一定可靠程度上對原假設做出判斷。

方差分析也叫做離差分析，就是用方差的概念去分析由少數試驗就可以做出的判斷。

由於隨機現象在人類的實際活動中大量存在，概率統計隨着現代工農業、近代科技的發展而不斷髮展，因而形成了許多重要分支。如：隨機過程、信息論、極限理論、試驗設計、多元分析等。