-
朗伯W函數
鎖定
朗伯W函數（Lambert W Function），又稱為“歐米加函數”或“乘積對數函數(product log function)”，是 f(w)=w.exp(w) 的反函數，其中exp(w) 是指數函數，w 是任意數。對於任意複數z，都有z=w(z)*e*。
[1]
朗伯W函數，在研究太陽能電池的實際模型中有比較重要的應用。
朗伯W函數為特殊函數。又稱為“歐米加函數”或“乘積對數函數。
- 中文名
- 朗伯W函數
- 外文名
- Lambert W Function
- 命 名
- 約翰·海因裏希·朗伯
- 又 稱
- 歐米加函數
朗伯W函數命名
朗伯W函數(Lambert W Function)由約翰·海因裏希·朗伯(Johann HeinrichLambert)命名。在Digital Library of Mathematical Functions(儲存特殊函數的數學運用的一個網絡項目)中主分支
被表示為
，分支
被表示為
。
朗伯W函數微分與積分
朗伯W函數微分
所以
此外，我們有
朗伯W函數積分
函數
或一些包含
的表達式可運用代換
進行積分。(
)
特殊的有
朗伯W函數漸近展開式
函數
有泰勒展開式
收斂半徑為
。
對於大的數
，
有漸近展開式
和
其中
，
，
是非負的第一類斯特靈數(Stirling number of the first kind)。
在展開式中只留前兩項
另一分支
，當
時有相似的漸進展開式，
，
。
朗伯W函數複數次方
更一般的情況下，當
是整數，有
其中
是任意複數，
朗伯W函數恆等式
用朗伯W函數的定義，我們有
朗伯W函數特殊值
其中
為歐米加常數(Omega constant)。
朗伯W函數舉例介紹
朗伯W函數例子1
更一般的
其中
，可以使用代換
解出
因此最後答案為
如果
，方程有第二個解
朗伯W函數例子2
或
因為根據定義，有
朗伯W函數例子3
關於超-4運算(tetration，另見超運算)的方程
如果超運算收斂至一個數
，則
解出
朗伯W函數例子4
的解為
朗伯W函數例子5
延遲微分方程(delay differential equation)
解出
其中
為朗伯W函數的分支。如果
，則只用考慮其主分支
。
朗伯W函數數值估算
函數亦可以使用哈雷迭代法(Halley's method)求近似值。
