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牛頓迭代法
鎖定
- 中文名
- 牛頓迭代法
- 外文名
- Newton's method
- 別 名
- 牛頓-拉夫遜(拉弗森)方法
- 提出時間
- 17世紀
牛頓迭代法產生背景
多數方程不存在求根公式,因此求精確根非常困難,甚至不可解,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數
的泰勒級數的前面幾項來尋找方程
的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大優點是在方程
的單根附近具有平方收斂,而且該法還可以用來求方程的重根、復根,此時線性收斂,但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。
牛頓迭代法牛頓迭代公式
設
是
的根,選取
作為
的初始近似值,過點
做曲線
的切線
,
,則
與
軸交點的橫座標
,稱
為
的一次近似值。過點
做曲線
的切線,並求該切線與x軸交點的橫座標
,稱
為r的二次近似值。重複以上過程,得
的近似值序列,其中,
稱為
的
次近似值,上式稱為牛頓迭代公式。
用牛頓迭代法解非線性方程,是把非線性方程
線性化的一種近似方法。把
在點
的某鄰域內展開成泰勒級數
,取其線性部分(即泰勒展開的前兩項),並令其等於0,即
,以此作為非線性方程
的近似方程,若
,則其解為
, 這樣,得到牛頓迭代法的一個迭代關係式:
。
已經證明,如果是連續的,並且待求的零點是孤立的,那麼在零點周圍存在一個區域,只要初始值位於這個鄰近區域內,那麼牛頓法必定收斂。 並且,如果不為0, 那麼牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的説,這意味着每迭代一次,牛頓法結果的有效數字將增加一倍。
迭代法也稱輾轉法,是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程,跟迭代法相對應的是直接法(或者稱為一次解法),即一次性解決問題。迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點,讓計算機對一組指令(或一定步驟)重複執行,在每次執行這組指令(或這些步驟)時,都從變量的原值推出它的一個新值。
利用迭代算法解決問題,需要做好以下三個方面的工作:
一、確定迭代變量
在可以用迭代算法解決的問題中,至少存在一個可直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量,這個變量就是迭代變量。
二、建立迭代關係式
所謂迭代關係式,指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式(或關係)。迭代關係式的建立是解決迭代問題的關鍵,通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
三、對迭代過程進行控制
在什麼時候結束迭代過程是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況:一種是所需的迭代次數是個確定的值,可以計算出來;另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況,可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制;對於後一種情況,需要進一步分析得出可用來結束迭代過程的條件。
牛頓迭代法MA代碼
牛頓迭代法定義函數
function y=f(x)
y=f(x);%函數f(x)的表達式
end
function z=h(x)
z=h(x);%函數h(x)的表達式,函數h(x)是函數f(x)的一階導數
end
牛頓迭代法主程序
x=X;%迭代初值
i=0;%迭代次數計算
while i
x0=X-f(X)/h(X);%牛頓迭代格式
if abs(x0-X)>0.01;%收斂判斷
X=x0;
else break
end
i=i+1;
end
fprintf('\n%s%.4f\t%s%d','X=',X,'i=',i) %輸出結果
牛頓迭代法C++代碼
求一元3次方程3個解的程序:
牛頓迭代法Py代碼
Python代碼以實例展示求解方程
的根。
牛頓迭代法Java代碼
public static double sqrt(double c) { if (c < 0) { return Double.NaN; } double err = 1e-15; double t = c; while (Math.abs(t - c/t) > err * t) { t = (c/t + t) / 2.0; } return t; }
牛頓迭代法Fo代碼
program newton
牛頓迭代法其他迭代算法
牛頓迭代法歐幾里德算法
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明:a可以表示成a = kb + r,則r = a mod b。假設d是a,b的一個公約數,則有 a%d==0,b%d==0,而r = a - kb,因此r%d==0 ,因此d是(b,a mod b)的公約數
同理,假設d 是(b,a mod b)的公約數,則 b%d==0,r%d==0 ,但是a = kb +r ,因此d也是(a,b)的公約數。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的,其最大公約數也必然相等,得證。
從上面的程序我們可以看到a,b是迭代變量,迭代關係是temp = a % b;根據迭代關係我們可以由舊值推出新值,然後循環執a = b; b = temp;直到迭代過程結束(餘數為0)。在這裏a好比那個膽小鬼,總是從b手中接過位置,而b則是那個努力向前衝的先鋒。
牛頓迭代法斐波那契數列
還有一個很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)數列。斐波那契數列為:0、1、1、2、3、5、8、13、21、…,即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當n>2時)。
在n>2時,fib(n)總可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到,由舊值遞推出新值,這是一個典型的迭代關係,所以我們可以考慮迭代算法。