-
曼德勃羅集
鎖定
- 中文名
- 曼德勃羅特集
- 外文名
- Mandelbrot set
- 別 名
- 上帝的指紋
- 表達式
- Zn+1=(Zn)^2+C
曼德勃羅集圖形介紹
這是一個迭代公式，式中的變量都是複數。
圖1：曼德勃羅集
只要計算的點足夠多，不管把圖案放大多少倍，都能顯示出更加複雜的局部，這些局部既與整體不同，又有某種相似的地方。圖案具有無窮無盡的細節和自相似性。如圖2所示形產生過程，其中後一個圖均是前一個圖的某一局部放大：
圖2
圖3
如下是產生圖3的出發點。
出發點：
實部 Real 0.2537269133080432 ,
虛部 Imag. 0.000365995381749671135
The width of that screen is 9.45e-17
曼德勃羅集圖形來源
圖形是由美國數學家曼徳勃羅教授於1975年夏天一個夜晚，在冥思苦想之餘翻看兒子的拉丁文字典時想到的，起拉丁文的原意是“產生無規則的碎片”。曼德勃羅教授稱此為"魔鬼的聚合物"。為此，曼德勃羅在1988年獲得了"科學行為藝術大獎".
曼德勃羅集計算編程
1.測試用例
其中底部的數據(real_min, imag_min) to (real_max, imag_max)表示複平面窗口，real_min表示實部最小值,，imag_min表示虛部最小值，real_max表示實部最大值，imag_max表示虛部最大值.
(-0.84950, 0.21000) to (-0.84860, 0.21090) (0.32000, -0.45000) to (0.50000, 0.05000) (0.26304, 0.00233) to (0.26329, 0.00267) (-0.63500, 0.68000) to (-0.62500, 0.69000) (-0.46510, -0.56500) to (-0.46470, -0.56460) (-1.50000, -1.00000) to (0.50000, 1.00000)
2.曼德勃羅特集的計算
顯示曼德勃羅特集是處理位映射圖像的一個例子。首先要對圖像進行計算，且計算量很大。
式中zk+1是複數z = a + bi的第k+1次迭代，c是確定該點在複平面中位置的複數值。z的初始值為0。
迭代將一直進行下去,直到z的幅值(向量長度，這裏為22ba+)大於2或者迭代次數已經達到某種任意的規定的限度。
化簡計算：
用zreal表示z的實部，zimag表示z的虛部。則：
zreal = a * a - b * b + creal zimag = 2 * a * b + cimag
3.順序代碼
structure complex {
float real;
float image;
};對一點值的計算並返回迭代次數的例程：
int cal_pixel(complex c){
int count, max;
complex z;
float temp, lengthsq;
max = 256;
z.real = 0;
z.imag = 0;
count = 0;
do {
temp = z.real * z.real - z.imag * z.imag + c.real;
z.imag = 2 * z.real * z.imag + c.imag;
z.real = temp;
lengthsqc = z.real * z.real + z.imag * z.imag;count++;
} while ((lengthsq < 4.0) && (count < max)); //直到z的幅值大於2或者迭代次數達到max
return count;
}因此,所有給定的曼德勃羅特點必將處在以原點為中心，半徑為2的圓中。
計算和顯示這些點的代碼需要對座標系統進行一定的縮放來與顯示區域的座標系統相匹配。
假設顯示高度為disp_height，寬度為disp_width。而點在顯示區域中的位置為(x, y)。
如果顯示複數平面的這個窗口具有最小值(real_min, imag_min)和最大值(real_max, imag_max),則每個點需用以下係數加以縮放。
c.real = real_min + x * (real_max - real_min) / disp_width; c.imag = imag_min + y * (imag_max - imag_min) / disp_height;
設置
scale_real = (real_max - real_min) / disp_width; scale_imag = (imag_max - imag_min) / disp_height;
縮放代碼：
for (x = 0; x < disp_width; x++){
for (y = 0; y < disp_height; y++) {
c.real = real_min + ((float) x * scale_real);
c.imag = imag_min + ((float) y * scale_imag);
color = cal_pixel(c);display(x, y, color);
}
}4.並行代碼
4.1. 靜態任務分配
假定顯示區域為640 × 480，在一個進程中要計算10行。即將10 × 640像素變為一組，共48個進程。
偽代碼如下：
主進程Master
for ( i = 0, row = 0; i < 48; i++, row = row + 10){
send (&row, pi)
for (i = 0; i < (480 * 640); i++){
recv(&c, &color, PANY);
display(c, color);
}
}從進程Slave (process i)
recv(&row, Pmaster);
for (x = 0; x < disp_width; x++){
for (y = row; y < (row + 10); y++){
c.real = real_min + ((float) x * scale_real);
c.imag = imag_min + ((float) y * scale_imag);
color = cal_pixel(c);
send(&c, &color, Pmaster);
}
}4.2. 動態任務分配—工作池/處理器農莊(work pool / processor farm)
主進程
count = 0;
row = 0;
for (k = 0; k< procno; k++){
send(&row, pk, data_tag);
count++;
row++;
}
do {
recv(&slave, &r, color, PANY, result_tag);
count--;
}if (row > 0)從進程
recv(y, Pmaster, ANYTAG, source_tag); //接收Pmaster發送的第y行的點
while(source_tag == data_tag) { //判斷是否還有消息需要處理
c.imag = imag_min + ((float) y * scale_imag);
for (x = 0; x < disp_width; x++) {
c.real = real_min + ((float) x * scale_real);
color = cal_pixel(c);
}
send(&i, &y, color, Pmaster, result_tag); //將所計算的第y行點的color發給Pmaster
recv(y, &r, Pmaster, source_tag); //接收下一任務
} //如果退出while循環, 則一定是source_tag = termiate_tag, 表明沒有任務,程序終止
