旋量

在數學幾何學與物理中，旋量是復矢量空間中的的元素。旋量乃自旋羣的表象，類似於歐幾里得空間中的矢量以及更廣義的張量，當歐幾里得空間進行無限小旋轉時，旋量做相應的線性轉換。當如此一系列這樣的小旋轉組合成一定量的旋轉時，這些旋量轉換的次序會造成不同的組合旋轉結果，與矢量或張量的情形不同。當空間從0°開始，旋轉了完整的一圈（360°），旋量發生了正負號變號（見圖），這個特徵即是旋量最大的特點。在一給定維度下，需要旋量才能完整地描述旋轉，如此引入了額外數量的維度。

在閔可夫斯基空間的情形，也可以定義出相似的旋量，其中狹義相對論的洛倫茲轉換扮演旋轉的角色。旋量最先是由埃利·嘉當於1913年引入幾何學。在1920年代，物理學家發現若要描述電子及其他次原子粒子的內稟角動量或自旋，旋量為不可或缺的角色。旋量羣為所有旋轉相關的旋量所構成的羣，其二重覆疊了旋轉羣，因為每個完整旋轉結果皆有兩種不同但等效的旋轉方式。

一種特定的旋量是旋轉羣（李羣SO(n，R)）的投影表示中的元素，或更廣義地説，是SO(p,q，R)羣的投影表示中的元素。

旋量常被描述成“矢量的平方根”，因為矢量表示會出現在兩個相同旋量表示的張量積。

旋量中最典型的是狄拉克旋量。

當前有兩種架構可建構出旋量。 ^[2] 

一者是表示論架構。正交羣的李代數中，有一些羣表示無法以尋常的張量來建構，這些羣表示稱之為旋量羣表示，組成成分即旋量。在此觀點下，旋量屬於旋轉羣的二重複疊的表示SO(n, R)；更廣義的情形，其為度規記號為(p, q)之空間中，廣義特殊正交羣的二重複疊SO(p, q, R)。這些二重複疊為稱作旋量羣Spin(n)或Spin(p, q)的李羣。

二者是幾何架構。人們可以直接建構旋量，並檢視相關李羣操作下旋量的行為。此方法的優點是直觀，但對旋量的複雜性質則難以處理，例子包括菲爾茲恆等式。

埃利·嘉當於1913年提出旋量的最廣義數學形式。“旋量”一詞則是首先出現在保羅·埃倫費斯特的量子物理論文中。

1927年，沃爾夫岡·泡利將旋量應用至數學物理，當時他引入了自旋矩陣。隔年，保羅·狄拉克發現了相對論性的電子自旋理論，其中展示了旋量與洛倫茲羣的關連。於1930年代，狄拉克、皮亞特·海恩以及玻爾研究所的其他研究者建立了Tangloids之類的玩具，作為旋量的教學以及旋量微積分的模型。