循環擴張

循環擴張是一類特殊的、結構較清楚的域擴張。設K是域F的有限次伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦羣G(K/F)為循環羣，則稱此域擴張為循環擴張，K/F為循環擴域。設域F的特徵數為p>0，K是F上n次循環擴域，若n=mp^r，則存在一個子域鏈： ^[1] 

K

K₁

K₂

…

K_r+1=F，

使得K是K₁的m次循環擴域，而K_i是K_i+1(i=1，2，…，r)的p次循環擴域。F的一個p次循環擴域等同於F上一個形如x^p-x-a的不可約多項式的分裂域；當F含n次本原單位根，F的特徵數為零或p，而pn時，F上n次循環擴域等同於F上形如xⁿ-a的不可約多項式的分裂域。

域論（Field Theory）是抽象代數的分支，研究域的性質。簡單地説，一個域是在其上有"加法"、"減法"、"乘法"和"除法"的代數結構。 ^[2] 

域的概念最初被阿貝爾和伽羅瓦隱含地用於他們各自對方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金將對於四則運算封閉的實數或複數集稱為“域”。

1881年，利奧波德·克羅內克定義了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相當於今稱之數域。

1893年，安裏西·韋伯給出抽象域的首個清晰定義。

1910年，施泰尼茨於1911年發表了論文《域的代數理論》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）[1]。論文中他以公理化的方式研究了域的性質並給出了多個域的有關術語，比如素域、完全域，和域擴張的超越次數。

雖然伽羅瓦並未提出域的概念，但一般被譽為是首個將羣論和域論連繫起來的數學家，伽羅瓦理論便以他命名。事實上，埃米爾·阿廷在1928至42年間才將羣和域的關係大大地發展。

域擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F.此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α₁，α₂，…，α_n}是有限集合時，F(α₁，α₂，…，α_n)稱為添加α₁，α₂，…，α_n於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如：

f(α₁，α₂，…，α_n)/g(α₁，α₂，…，α_n)

的元組成，其中α₁，α₂，…，α_n∈S，f，g是F上的n元多項式且：

g(α₁，α₂，…，α_n)≠0.

由於這個原因，當F(α₁，α₂，…，α_n)關於F的超越次數≥1時，F(α₁，α₂，…，α_n)也稱為F上的代數函數域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。

伽羅瓦擴張：在數學中，如果一個域擴張K/k 既是一個正規擴張又是可分擴張，那 K/k 就是一個伽羅瓦擴張。注意正規擴張隱含了 K/k 是一個代數擴張。

對於一個伽羅瓦擴張 K/k，可以定義伽羅瓦羣，為所有 K/k 的自同構構成的羣。抽象代數， 研究代數的具體結構，羣、環、域、模，域的可分正規擴張——伽羅瓦擴張。（定義在什麼樣的物體上可以進行所謂的測量，嚴格的從數學的公理化出發進行定義）

伽羅瓦擴張是抽象代數中伽羅瓦理論的核心概念之一。伽羅瓦擴張是域擴張的一類。如果某個域擴張L/K既是可分擴張也是正規擴張，則稱其為伽羅瓦擴張。另一個等價的定義是：伽羅瓦擴張是使得其上的環自同構羣的固定域為其基域的域擴張。伽羅瓦擴張上的自同構羣稱為伽羅瓦羣，而且伽羅瓦擴張的中間域與其伽羅瓦羣的子羣之間的關係滿足伽羅瓦理論基本定理。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。而伽羅瓦羣（Groupe de Galois）是與某個類型的域擴張相伴的羣。是伽羅瓦理論的重要概念。 ^[3] 

域擴張源於多項式，通過伽羅瓦羣研究域擴張以及多項式稱為伽羅瓦理論，以發現者法國天才數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦命名。

伽羅瓦羣是伽羅瓦理論的一個重要概念。設K是域F的伽羅瓦擴域，K的F自同構羣G(K/F)稱為K/F的伽羅瓦羣。當K為F可分閉包時，G(K/F)稱為F的絕對伽羅瓦羣。若K是F的一個有限次伽羅瓦擴域，則G(K/F)是一個[K∶F]階羣。由於有限次伽羅瓦擴域等同於某一可分多項式的分裂域，因此，若域K是域F上一個可分多項式f(x)的分裂域，則其伽羅瓦羣G(K/F)就稱為f(x)的伽羅瓦羣，從而有限次伽羅瓦擴域的伽羅瓦羣必為某一多項式的伽羅瓦羣。在歷史上，是伽羅瓦(Galois，E.)首先對多項式引入伽羅瓦羣的概念。

數學中，伽羅瓦羣（Groupe de Galois）是與某個類型的域擴張相伴的羣。域擴張源於多項式，通過伽羅瓦羣研究域擴張以及多項式稱為伽羅瓦理論，以發現者法國天才數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦命名。