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幾何布朗運動

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幾何布朗運動 (GBM)（也叫做指數布朗運動）是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變量的對數遵循布朗運動。 [1]  幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes 模型）中模擬股票價格。
中文名
幾何布朗運動
外文名
Geometric Brownian motion
別    名
指數布朗運動
應用學科
金融數學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 特性
  3. 3 應用

幾何布朗運動定義

隨機過程 St在滿足以下隨機微分方程 (SDE) 的情況下被認為遵循幾何布朗運動：
這裏 Wt 是一個維納過程，或者説是布朗運動，而漂移百分比 μ 和波動百分比 σ 則為常量。

幾何布朗運動特性

給定初始值 S0，根據伊藤積分，上面的隨機微分方程 (SDE) 有如下解:
對於任意值 t，這是一個對數正態分佈隨機變量，其期望值和方差分別是
也就是説 St 的概率密度函數是
即為對數正態分佈。上述的隨機微分方程的顯式解是根據 ln St 由伊藤引理得到的。在 Black-Scholes 模型中。ln St 和股票價格的對數回報率相關。對 f(S) = ln S 應用伊藤引理得
兩邊積分即得到顯式解。還可求得股票價格對數 ln St 的期望
注意到 E(ln St) 的增長率 μ-σ2/2 低於 ln E(St) 的增長率 μ. 這是股價波動 σ 造成的。例如當 μ = 0 時，股市是一個零和博弈，有人賺錢有人賠錢，但 E(ln St) 的增長率 -σ2/2 為負。由 ln St 服從正態分佈知，此時多數人是賠錢的。多數人賠的錢總和等於少數人賺的錢。均值 μ 的效果是讓大家都賺錢 (μ＞0) 或者都賠錢 (μ＜0)，而波動 σ 的效果則是讓不同人的收益差異化。

幾何布朗運動應用

主條目：布萊克-斯科爾斯模型
在金融學中，幾何布朗運動在布萊克-斯科爾斯定價模型被用來定性股票價格，因而也是最常用的描述股票價格的模型 [2]  。
使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由:
  • 幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的 [3]  。
  • 幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。
  • 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的 “roughness” 。
  • 幾何布朗運動過程計算相對簡單。.
然而，幾何布朗運動並不完全現實，尤其存在以下缺陷:
  • 在真實股票價格中波動隨時間變化 (possibly stochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。
  • 在真實股票價格中, 收益通常不服從正態分佈（真實股票收益具有更高的峯度和厚尾 (“fatter tails”), 代表了有可能形成更大的價格波動）. [4] 
參考資料
  • 1.    1.Ross, Sheldon M. 10.3.2. Introduction to Probability Models. 2007.
  • 2.    2. Oksendal, Bernt K., 隨機Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer. 2002: 326, ISBN 3-540-63720-6
  • 3.    3. 3.0 3.1 Hull, John. 12.3. Options, Futures, and other Derivatives 7. 2009.
  • 4.    4.Wilmott, Paul. 16.4. Paul Wilmott on Quantitative Finance 2. 2006.