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幾何布朗運動
鎖定
- 中文名
- 幾何布朗運動
- 外文名
- Geometric Brownian motion
- 別 名
- 指數布朗運動
- 應用學科
- 金融數學
幾何布朗運動定義
隨機過程 St在滿足以下隨機微分方程 (SDE) 的情況下被認為遵循幾何布朗運動:
幾何布朗運動特性
也就是説 St 的概率密度函數是
即為對數正態分佈。上述的隨機微分方程的顯式解是根據 ln St 由伊藤引理得到的。在 Black-Scholes 模型中。ln St 和股票價格的對數回報率相關。對 f(S) = ln S 應用伊藤引理得
兩邊積分即得到顯式解。還可求得股票價格對數 ln St 的期望
注意到 E(ln St) 的增長率 μ-σ2/2 低於 ln E(St) 的增長率 μ. 這是股價波動 σ 造成的。例如當 μ = 0 時,股市是一個零和博弈,有人賺錢有人賠錢,但 E(ln St) 的增長率 -σ2/2 為負。由 ln St 服從正態分佈知,此時多數人是賠錢的。多數人賠的錢總和等於少數人賺的錢。均值 μ 的效果是讓大家都賺錢 (μ>0) 或者都賠錢 (μ<0),而波動 σ 的效果則是讓不同人的收益差異化。
幾何布朗運動應用
主條目:布萊克-斯科爾斯模型
使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由:
- 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的 “roughness” 。
- 幾何布朗運動過程計算相對簡單。.
然而,幾何布朗運動並不完全現實,尤其存在以下缺陷:
- 參考資料
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- 1. 1.Ross, Sheldon M. 10.3.2. Introduction to Probability Models. 2007.
- 2. 2. Oksendal, Bernt K., 隨機Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer. 2002: 326, ISBN 3-540-63720-6
- 3. 3. 3.0 3.1 Hull, John. 12.3. Options, Futures, and other Derivatives 7. 2009.
- 4. 4.Wilmott, Paul. 16.4. Paul Wilmott on Quantitative Finance 2. 2006.