對數正態分佈

有些量本身就是不對稱的。例如，試想，人們完成某項特定任務需要的時間：因為每個人都是不同的，我們會得到一個分佈。然而，所有的值都必然是正數(因為時間不可能為負數)。而且，我們還能預測到該分佈可能的形狀：有一個無人可及的最小時間，然後是少數一些非常快的“冠軍”，接下來就是普通人的最具代表性的完成時間形成一個高峯，最後是尾部一長串的“掉隊者”。顯然，高斯分佈不會很好地描述這樣的分佈，因為高斯分佈中x可以定義為正值，也可定義為負值，它是對稱的且尾部很短。 ^[1] 

在很多應用中，特別是在可靠性和維修性方面，數據可能不符合正態分佈。可是，隨機變量的對數可能符合正態分佈，對此情況稱為對數正態分佈。如果應用對數正態分佈，在對數正態圖紙上數據的圖形將是一條直線。繪圖的過程與其他分佈是相同的。其分析的過程包括計算對數值的平均值和標準差，以及對最終結果取反對數。 ^[2] 

對數正態分佈與正態分佈很類似，除了它的概率分佈向右進行了移動。對數正態分佈從短期來看，與正態分佈非常接近。但長期來看，對數正態分佈向上分佈的數值更多一些。更準確地説，對數正態分佈中，有更大向上波動的可能，更小向下波動的可能。 ^[3] 

對數正態分佈用於半導體器件的可靠性分析和某些種類的機械零件的疲勞壽命。其主要用途是在維修性分析中對修理時間數據進行確切的分析。

已知對數正態分佈的密度函數，就可以根據可靠度與不可靠度函數的定義計算出該分佈的可靠度函數和不可靠度函數的表達式。 ^[4] 

設X是取值為正數的連續隨機變量，若

，X的概率密度為

則稱隨機變量X服從對數正態分佈，記為

。

設

服從對數正態分佈，其密度函數為：

數學期望和方差分別為：

對數正態分佈具有如下性質：

(1)正態分佈經指數變換後即為對數正態分佈；對數正態分佈經對數變換後即為正態分佈。

(2)γ，t是正實數，X是參數為(μ，σ)的對數正態分佈，則

仍是對數正態分佈，參數為

。

(3)對數正態總是右偏的。

(4)對數正態分佈的均值和方差是其參數(μ，σ)的增函數。

(5)對給定的參數μ，當σ趨於零時，對數正態分佈的均值趨於exp(μ)，方差趨於零。 ^[5]