實數公理

實數公理是在集合論發展的基礎上，由希爾伯特於1899年首次提出的。後來他所提的公理系統在相容性與獨立性方面得到了進一步改進，逐步演變為公理系統。 ^[1]  實數公理來源於實數理論的研究，實數理論包括對實數的結構,運算法則和拓撲性質等方面問題的研究。

實數集有多重結構，例如:

代數結構：從代數上看實數集是一個域。

序結構：實數集是一個有序集。

拓撲結構：實數集是一個拓撲空間,並且有諸如完備性,可分性,和列緊性等一些非常好的性質。

實數理論包含了深刻而豐富的信息,實數理論是極限論的基礎,也是近代分析數學的最重要基礎之一。

設

是一個集合，若它滿足下列四組公理，則稱為實數系，它的元素稱為實數:

對任意

，有

中唯一的元素

與唯一的元素

分別與之對應，依次稱為

的和與積，滿足：

1.（交換律） 對任意

，有：

,

.

2.（結合律） 對任意

，有：

，

。

3.（分配律） 對任意

，有：

。

4.（中性元） 對每個

，存在R中唯一的元素，記為0，稱為加法零元（或加法中性元）；對每個

，存在R中唯一的元素，記為1，稱為乘法單位元（或乘法中性元），使

。

5.（逆元） 對每個

，存在

中唯一的元素，記為

，稱為加法逆元；對每個

，存在

中唯一的元素，記為

，稱為乘法逆元，使

，

。

*6.（零元）對每個

，存在

中唯一的元素，記為0，稱為乘法零元，使：

。

注1：公理6中的乘法零元即為4中的加法零元，且公理6是可以從之前的公理中推導出來的，因此也可以不單獨列為公理；

注2：公理4、公理5、公理6中的“存在唯一的元素”也可以改為“存在元素”，唯一性可以由公理推導得到

(a) 在任意兩個元素

之間存在一種關係，記為“

”，使對任意

，滿足：

1.（三歧性）

,

,

三種關係中必有一個且僅有一個成立。

2.（傳遞性） 若

且

則

。

*3.（與運算的相容性） 若

，則

；若

，

則

。

(b) 在任意兩個元素

之間存在一種關係，記為“

”，使對任意

，滿足：

1.（自反性）

2.（反對稱性）若

且,

那麼

。

3.（傳遞性）若

且

則

。

*4.（與運算的相容性） 若

，則

；若

且

，則

。

注1：對於序公理

這兩種描述是等價的，且可以通過其中一個符號及其性質來定義另一個符號。

注2：“與運算的相容性”是可以從之前的公理中推導出來的，因此也可以不單獨列為公理

(III)(1) 阿基米德公理（也稱阿基米德性質，它並不是嚴格意義上的公理，可以由完備性公理證明。在歐幾里得的幾何書中，它僅被描述為一個命題）。

阿基米德公理：對任意

，

存在正整數

，使

。

(III)(2) 完備性公理（連續性公理）

如果

與

是

的非空子集，滿足對每個

,

，都有

，則存在

，使對任何

,

，都有

。

稱滿足公理組I的集為域；滿足公理組I與II的集為有序域；滿足公理組I，II與(III)(1)的集為阿基米德有序域；滿足公理組I～III的集為完備阿基米德有序域或完備有序域。這樣，實數系就是完備阿基米德有序域。所有有理數的集合

就是阿基米德有序域，但它不滿足完備性公理。根據域公理，可以定義實數的減法和除法，並證明四則運算的所有性質。序公理的1與2表明關係“

”是

的全序。

用域公理和序公理可以定義正數、負數、不等式、絕對值，並證明它們具有通常的運算性質。加上阿基米德公理與完備性公理，可以證明實數的其他性質以及冪、方根、對數等的存在性。實數公理有多種不同的提法，常見的另一種提法是把公理組III換成

(III)’完備性公理（連續性公理）（戴德金定理）

若

是

的非空子集且

，又對任意的

及任意的

恆有

，則

有最大元或

有最小元。

這裏把戴德金定理用作連續性公理。另一個常用作連續性公理的確界原理。公理組I～III與公理組I+II+(III)’是等價的，（注意不是III<=>(III)’，事實上僅有III=＞(III)’）。完備性公理還可以換成閉區間套定理的形式。類似地，單調收斂定理，聚點原理等也可用作連續性公理。公理組II也有其他提法。用公理定義了實數系

後，可以繼續定義R的特殊元素正整數、整數等。例如，由數1生成的子加羣

的元素稱為整數；由數1生成的子域

的元素稱為有理數。 ^[1] 

但這裏有一個很微妙的問題，即與完備性公理等價的7個實數系的基本定理（確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則）中，並不是每一個都能推出阿基米德公理的。具體來説，閉區間套定理和柯西收斂準則不能，其他5個基本定理則可以推出阿基米德公理。因此，以完備性公理作為實數公理之一時，阿基米德公理可以去掉；以5個可以推出阿基米德公理的基本定理替代完備性公理時，阿基米德公理也可以去掉；而以柯西收斂準則或閉區間套定理代替連續性公理時，必須補充阿基米德公理。

關於實數的完備性，注意完備性公理中出現的“完備性”，以及關於實數完備性最常見的描述中，所謂“完備性”是對集合（有序域）性質的一種描述。此外還有其它完備性，例如作為公理系統所確定的數學對象是否唯一（同構意義上）也稱為完備性，這種意義下，實數也是完備的；還有作為公理系統，其語言（language）中的任何一個句子（sentence）S，這個理論包括且僅包括S或S之逆，也稱為完備性，這種意義下，實數也是完備的。因此在出現“完備”這一説法時要注意通過上下文來確定完備的具體意義。

滿足這些公理的任何集合

，都可被認為是實數集的具體實現，或稱為實數模型。 ^[2]  需要説明的是，實數公理下的系統是相容的，範疇的（即上述第二個意義下的完備）。

從另外一個角度來想，希爾伯特實數公理是自上而下建立數系的，用公理規定實數，然後再定義整數、正整數直至自然數。那麼反過來行不行呢，實數的這些公理能不能從其他的假設中推出來呢，事實上，這就是實數的構造理論所做的事了，在菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》的緒論中，就展示了用戴德金分割的方法從有理數定義無理數的過程，從而建立了實數，而有理數是依賴於先建立整數的，整數又是依賴於先建立自然數的，當集合論發展起來之後，自然數又依靠集合來定義了（即皮亞諾公理），集合是最原始的概念，無法再定義的概念，整個自下而上的過程可以參見蘭道的《分析基礎》。因此無論是從上至下還是從下至上，整個數學的基礎都建立在了集合論之上，數學再也不能排除掉集合這一概念了，當英國數學家羅素髮現了集合中的羅素悖論之後，引發了第三次數學危機，促使集合論又不得不加以改進，致使樸素集合論發展為近代集合論，現代的數學基礎終於建立在了公理集合論的基礎之上（ZFC公理系統）。

四、康托爾閉區間套模型（可歸入第三個模型）

實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理，這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則，共7個定理，它們彼此等價，以不同的形式刻畫了實數的連續性，它們同時也是解決數學分析中一些理論問題的重要工具，在微積分學的各個定理中處於基礎的地位。7個基本定理的相互等價不能説明它們都成立，只能説明它們同時成立或同時不成立，這就需要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而説明它們同時都成立，引進方式主要是承認戴德金公理，然後證明這7個基本定理與之等價，以此為出發點開始建立微積分學的一系列概念和定理。在一些論文中也有一些新的等價定理出現，但這7個定理是教學中常見的基本定理。

非空有上（下）界數集必有上（下）確界。

單調有界數列必有極限。具體來説：

單調增（減）有上（下）界數列必收斂。

對於任何閉區間套，必存在屬於所有閉區間的公共點。若區間長度趨於零，則該點是唯一公共點。

閉區間上的任意開覆蓋，必有有限子覆蓋。或者説：閉區間上的任意一個開覆蓋，必可從中取出有限個開區間來覆蓋這個閉區間。

有界無限點集必有聚點。或者説：每個無窮有界集至少有一個極限點。

有界數列必有收斂子列。

數列收斂的充要條件是其為柯西列。或者説：柯西列必收斂，收斂數列必為柯西列。

注：只有充要條件的命題才能稱之為“準則”，否則不能稱為“準則”。

以上7個命題稱為實數系的基本定理。實數系的7個基本定理以不同形式刻畫了實數的連續性，它們彼此等價。在證明中，可採用單循環證明的方式證明它們的等價性。它們之間等價性的證明可以參看《數學分析札記》。 ^[3] 

在閉區間上連續函數的性質的證明中，實數系的基本定理是非常重要的工具，但是它們之間的等價性不能説明它們都成立，必須要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而以上的命題都成立，進過反覆仔細琢磨，問題就歸結為實數的引入問題了。如在菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》 ^[4]  中，可以用實數的連續性來推出確界定理，在華東師範大學數學系編的《數學分析（上冊）》（第四版）中就通過實數十進制小數形式推出確界定理，這也説明了建立實數系的嚴格定義的重要性。從邏輯上，應該是先建立了實數，有了實數的定義之後，再得出實數系的基本定理，從而能夠在實數域上建立起嚴格的極限理論，最後得到嚴格的微積分理論，但數學歷史的發展恰恰相反，最先產生的是微積分理論，而嚴格的極限理論是在19世紀初才開始建立的，實數系的基本定理已經基本形成了之後，19世紀末實數理論才誕生，這時分析的算數化運動才大致完成。