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聚點原理
鎖定
- 中文名
- 聚點原理
- 外文名
- accumulative point principle
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 數學分析(極限理論)
- 相關概念
- 聚點、極限點、有限覆蓋定理等
- 類 型
- 數學術語
聚點原理定理及證明
此定理叫做聚點原理。
證明: 將
包含在中心位於原點,各邊平行於座標軸的正方形
內,若
沒有聚點,則對於
中每一點z,存在這樣一個鄰域
使得在這個鄰域內只含
的有限個點,且這些鄰域的全體將
覆蓋住,由有限覆蓋定理,在這些鄰域中只要有限個鄰域就將
覆蓋住(
當然是有界閉集)。這樣一來,點集
也只有有限個點屬於
,這與
為無窮點集而又完全包含在k內相矛盾。從而定理成立
[2]
。
聚點的定義
任給
存在無窮多個
滿足
有的序列可以有多個聚點。例如,實數序列
聚點原理推論及證明
聚點原理推論
聚點原理推論證明
根據假設,對於E來説,只有兩種可能,或者存在某一個圓域:
它含有E的無窮多個點,因而含有E的聚點(由聚點原理得知) ,或者在每一個圓域
內只有E的有限個點,此時在無窮遠點的任意鄰域:
內有E的無窮多個點,因此,
點是E的聚點,從而推論得證。
聚點原理有限覆蓋定理
聚點原理閉集
先介紹閉集的概念。
如果點集E包含它的所有聚點在內,則稱E為閉集。
聚點原理定理介紹
海恩-波萊爾定理(Heine-Borel)假設E為有界閉集,且對E內每一點z都作一個以這一點為圓心的圓域
(這個圓的半徑沒有限制,它可以取任意正實數),則在這些圓中必可以找到有限多個來把有界閉集E覆蓋住,換句話説,E的每一點至少屬於這有限個圓域中的一個圓域的內部。此定理又叫做有限覆蓋定理,它是複變函數論裏的重要定理。
下面應用數學分析中的矩形套定理來證明有限覆蓋定理。
證明: 如果E是有限集,定理顯然成立。
設E是無限集,則我們用反證法來證明,設Q1為一個各邊平行於座標軸,以座標原點為中心的正方形,並且將E包含在內,若定理不成立,則將Q1分成四個全等的正方形時,在這四個正方形上的E的四個子集中至少有一個不能用上述有限個圓心屬於E的圓域所覆蓋,我們把這個子集所在的正方形記為Q,並且再把它用同樣方式分成四個全等的正方形,同樣,我們又得到一個正方形Q3,繼續這種分法,我們得到Qn,它包含E的一部分,而且對這一部分來説,我們的定理是不成立的,也就是説,E的這一部分必須用無窮多個圓Kz才能覆蓋住,但因這些正方形組成了一個閉正方形套(特殊的矩形域套) :
因此,
。
根據閉矩形套定理,存在唯一一點
屬於所有這些正方形
,於是當n充分大時,在
的任一個鄰域必須包含正方形Q,因而也就包含着E的點,並且是無窮多個點,不然的話,E的這個子集能夠被有限個圓
所覆蓋住,但這是不可能的。所以
為E的聚點,因為E為閉集,所以
屬於E,設圓
的半徑為
,選這樣大的一個n,使得正方形
的對角線的長小於
,於是我們得到所有屬於
的E的點都被圓
所覆蓋住,但是根據我們最初的假設,必須有無窮個圓
才能把它們覆蓋住,這是個矛盾,從而定理得證
[2]
。
有限覆蓋定理的逆定理也成立。