波萊爾定理

在數學分析中，海涅－博雷爾定理（Heine–Borel theorem）或有限覆蓋定理、博雷爾－勒貝格定理（Borel–Lebesgue theorem），以愛德華·海涅和埃米爾·博雷爾命名，斷言：

對於歐幾里得空間Rⁿ的子集S，下列兩個陳述是等價的：

在實分析的文章中，前面性質有時用做緊緻性的定義性質。但是在考慮更一般的度量空間的子集的時候這兩個定義就不再等價了，在這種一般情況下只有後者還用於定義緊緻性。事實上，對任意度量空間的 Heine–Borel 定理為：度量空間的子集是緊緻的，當且僅當它是完備的並且完全有界的。 ^[1] 

今天叫做海涅-博雷爾定理的歷史開始於十九世紀對實分析的堅實基礎的尋覓。理論的中心是一致連續的概念和聲稱所有閉區間上的連續函數是一致連續的定理。狄利克雷首先證明了它，並隱含的在他的證明中利用了閉區間的給定開覆蓋的有限子覆蓋的存在性。他在1862年的演講中使用了這個證明，並在1904年得以出版。後來Eduard Heine、卡爾·魏爾斯特拉斯和Salvatore Pincherle使用了類似的技術。埃米爾·博雷爾在1895年首次發表並證明了一種形式的現在的海涅-博雷爾定理。他的公式化受限制於可數覆蓋。昂利·勒貝格(1898年)和Schoenflies(1900年) 把它推廣到了任意覆蓋。 ^[1] 

設集合S是R的子集。首先證明一個引理：若a是S的一個極限點，則任意有限個開集U，其中U與a的某鄰域V_U不相交，所組成的開集族C不能構成S的一個開覆蓋。實際上，所有的V_U的交集是a的一個鄰域，記為W。由於a是S的一個極限點，W必須包含一個屬於S的點x。而由於x不被包含於C，故開集族C不能構成S的一個開覆蓋。

若S是緊集但不是閉集，則存在S的一個極限點a，它不屬於S。考慮一個開集族C’，其中C’是由所有S中的點x的某個鄰域 N(x)所組成的，其中每個鄰域N(x)足夠小，使得其與a的某個鄰域不相交。則C’構成S的一個開覆蓋，但是C’的任意有限子集符合引理條件，故不可能構成S的開覆蓋。由此，與S的任意開覆蓋存在有限子覆蓋矛盾。故S是閉的。 這個證明也可以説明任意Hausdorff空間的緊集是閉集。

考慮以一個公共點為中心有任何半徑的那些開球。這可以覆蓋任何集合，因為在這個集合中所有點都用與那個點有某種距離。這個覆蓋的任何有限覆蓋必定是有界的，因為它會被界定在這個子覆蓋的最大開球內。因此，這個子覆蓋的所覆蓋的任何集合都必定是有界。 ^[1]