單調收斂定理

如果a_k是一個單調的實數序列（例如a_k≤a_k+1），則這個序列具有極限（如果我們把正無窮大和負無窮大也算作極限的話）。這個極限是有限的，當且僅當序列是有界的。

我們證明如果遞增序列{a_n}有上界，則它是收斂的，且它的極限為

。

由於{a_n}非空且有上界，因此根據實數的最小上界公理，c=

存在，且是有限的。對於每一個

，都存在一個a_N，使得a_N>c-

，否則c-

是{a_n}的一個上界，這與c為最小上界

的事實矛盾。於是，由於{a_n}是遞增的，對於所有的n > N，都有

，因此根據定義，{a_n}的極限為

。證畢。

類似地，如果一個實數序列是遞減且有下界，則它的最大下界就是它的極限。 ^[1] 

如果對於所有的自然數j和k，a_j,k都是非負實數，且a_j,k≤a_j+1,k，則

這個定理是前一個定理的推廣，也許就是最重要的單調收斂定理。

設( X,，A，

)為一個測度空間。設f₁，f_2......為

-可測的[0,

]值單調遞增函數。也就是説：

。接着，設序列的逐點極限為f。也就是説：

，那麼，f是

-可測的，且：

。

我們首先證明f是

-可測函數。為此，只需證明區間[0,t]在f下的原像是X上的σ代數A的一個元素。設I為[0，

)的一個子區間。那麼：

，另一方面，由於[0,t]是閉區間，因此：

等價於

，所以：

。注意可數交集中的每一個集合都是A的一個元素，這是因為它是一個波萊爾子集在

-可測函數

下的原像。由於根據定義，σ代數在可數交集下封閉，因此這便證明了f是

-可測的。需要注意的是，一般來説，任何可測函數的最小上界也是可測的。

我們證明單調收斂定理的餘下的部分。f是

-可測的事實，意味着表達式

是定義良好的。

我們從證明

開始。

根據勒貝格積分的定義，其中SF是X上的-可測簡單函數的交集。由於在每一個，都有，我們便有：

包含於

，因此，由於一個子集的最小上界不能大於整個集合的最小上界，我們便有：

，右面的極限存在，因為序列是單調的。

我們證明另一個方向的不等式（也可從法圖引理推出），也就是説，我們來證明：

從積分的定義可以推出，存在一個非負簡單函數的非遞增序列g_n，它幾乎處處逐點收斂於f，且：

只需證明對於每一個

，都有：

，這是因為如果這對每一個k都成立，那麼等式左端的極限也將小於或等於等式右端。

我們證明如果g_k是簡單函數，且

幾乎處處，則：

由於積分是線性的，我們可以把函數

分拆成它的常數部分，化為

是σ代數A的一個元素B的指示函數的情況。在這種情況下，我們假設

是一個可測函數的序列，它在B的每一個點的最小上界都大於或等於一。為了證明這個結果，固定

，並定義可測集合的序列：

根據積分的單調性，可以推出對於任何的

，都有

根據

的假設，對於足夠大的n，任何B內的x都將位於

內，因此：

，所以，我們有：

利用測度的單調性，可得

，取

，並利用這對任何正數都正確的事實，定理便得證。