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有限覆蓋定理
鎖定
- 中文名
- 有限覆蓋定理
- 外文名
- Heine–Borel theorem
- 所屬學科
- 海涅-博雷爾定理
- 分 類
- 數學
有限覆蓋定理定律定義
在講有限覆蓋定理之前,先介紹覆蓋的概念。
覆蓋:設有任意個區間(可以是開區間,也可以是閉區間,還可以是半開半閉區間;可以是有限個區間,也可以是無限個區間),它們構成了一個集合H(集合H的所有元素均為區間)。如果對於一個數集S,S中的任意一個元素都屬於H中的至少一個區間,那麼稱H是S的一個覆蓋。
它的等價定義為,若S包含於任意個區間所構成的並集,則稱這些區間構成的集合H是S的一個覆蓋。
特別地,當H中的元素全部為開區間時,稱H是S的開覆蓋。
例如,數集
,它的一個覆蓋為
。這是因為,對任意0<x<1,必有-1<x<2,即S中的任意一個元素都屬於H,因此H是S的一個覆蓋。
同理,
也是S的一個覆蓋,因為S包含於H'中的元素所構成的並集
。
有限覆蓋定理:設H是閉區間[a,b]的一個(無限)開覆蓋,則必可從H中選擇有限個開區間來覆蓋[a,b]。
有限覆蓋定理推導過程
該定理反應了實數的完備性,可以用戴德金定理來證明。
設閉區間[a,b]有一個無限開覆蓋H,下面結合反證法證明[a,b]能被H中的有限個開區間覆蓋。
假設[a,b]不能被H中的有限個開區間覆蓋,在開區間(a,b)上找一個數x,使閉區間[a,x]被H中的有限個開區間覆蓋。這樣的x一定存在,∵[a,b]被H覆蓋,∴
。那麼,在區間(a,n)內任取一個數為x(且該x落在(a,b)上),則有m<a<x<n,即閉區間[a,x]被開區間(m,n)覆蓋。
令所有這些x,連同區間(-∞,a]上的所有數構成一個數集A,並把A在實數集R中的補集設為B。則:
①由取法可知A、B皆非空;
②A∪B=R;
③根據取法,A中的數都落在區間(-∞,x]上(且[a,x]可以被H的有限個開區間覆蓋),而B中的數落在(x,+∞)上(且[x,b]不能被H的有限個開區間覆蓋),∴A中任意一個元素都小於B中任意一個元素。
根據戴德金定理,存在唯一實數η,使η是A、B的分界點,且η要麼是A中最大值,要麼是B中最小值。
假設η是A中的最大值,顯然有η∈(a,b)。那麼,
∵[a,η]被H中有限個開區間覆蓋(並設這有限個開區間構成的集合為H1,H1⊂H)
∴
取足夠小的ε>0,使η+ε仍落在區間(p,q)內,這樣一來,[a,η+ε]依然可以被H1所覆蓋。而H1是H的有限個開區間構成的集合,即[a,η+ε]被H的有限個開區間所覆蓋。
∴η+ε∈A,與η是A中最大值相矛盾。
若η是B中的最小值,η∈(p2,q2)∈H,取足夠小的ε>0,使η-ε仍大於p2,則η-ε∈A。
∴[a,η-ε]被H中有限個開區間覆蓋(並設這有限個開區間構成的集合為H2,H2⊂H)。在H2中加上區間(p2,q2), 形成集合H3,那麼H3仍是H中有限個開區間構成的集合。
這樣一來,容易證明[a,η]可以被H3所覆蓋。而H2是H的有限個開區間構成的集合,即[a,η]被H的有限個開區間所覆蓋。
∴η∈A,與η是B中最小值相矛盾。
∴一開始的假設不成立,[a,b]必然被H中的有限個開區間覆蓋,定理得證。
有限覆蓋定理適用範圍
有限覆蓋定理必須注意兩個條件。
一是被覆蓋的區間必須是閉區間,開區間或半開半閉區間不成立。例如對區間
來説,
是其一個無限開覆蓋。但顯然,無論n取值為多少,區間
上依然有
的無窮多個數,因此不能從H中選擇有限個區間來覆蓋
。
二是用來覆蓋閉區間的必須是開區間,閉區間或半開半閉區間不成立。例如對區間
來説,
(n=1,2,3,……)是其一個無限覆蓋,顯然也找不出有限個子區間來覆蓋
。
有限覆蓋定理應用領域
有限覆蓋定理是實數定理,還有確界存在定理;單調有界定理;閉區間套定理;聚點定理;柯西收斂準則的逆否命題。這6個定理是等價的,可以互相推出對方,它們都反應了實數的連續性與完備性,在數學分析上有着重要的運用。
尤其是有限覆蓋定理,它可以推廣到n維空間(此時定理的描述會發生改變,但本質不變),從而定義了緊集和緊空間等。
已知:f(x)在閉區間[a,b]上有定義,且f(x)連續。求證:f(x)在閉區間[a,b]上一致連續。
證明:
∵f(x)在[a,b]上連續
∴對任意x0∈[a,b],
上式中的δ0(ε,x0)表示δ是ε和x0的函數,而
即意味着
。
固定ε,只讓x0在區間[a,b]上變化,則一般來説δ0也要發生變化。當x0取遍[a,b]上的所有實數時,[a,b]將被所有x0的鄰域
構成的集合S覆蓋,或者説S是[a,b]的一個無限開覆蓋。
由有限覆蓋定理得S中有有限個開區間能覆蓋住[a,b],不妨設這有限個開區間構成的集合為
。
令
(∵i為有限正整數,∴δi為有限個,在這有限個δi之中一定有最小值),這個δ不再與x0有關,是因為無論對[a,b]上的哪個數xi,當
時,總有
。下證對任意x'和x''∈[a,b],當|x'-x''|<δ時,總有|f(x')-f(x'')|<ε。
事實上,由連續的定義,
那麼,當
時,有
顯然,ε是任意正數,那麼2ε也是任意正數,也相應地存在正數2δ。這就證明了f(x)在[a,b]上一致連續。
- 參考資料
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- 1. 楊小遠,薛玉梅,孫玉泉等.有限覆蓋定理的教學研究與實踐[J].高等數學研究,2014,17(1):116-119. .萬方數據庫[引用日期2017-08-29]
- 2. 強華,周虎.有限覆蓋定理在若干數學命題證明中的應用[J].佳木斯大學學報(自然科學版),2015,33(5):728-729. .萬方數據庫[引用日期2017-08-29]