增根

對於分母的值為零時，這個分數無意義，所以不允許分母為0，即本身就隱含着分母不為零的條件。當把分式方程轉化為整式方程以後，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值範圍擴大了，如果轉化後的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那麼就會出現增根。

分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程轉化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊同乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數的取值範圍而產生的未知數的值。 ^[2] 

解：去分母，x-2=0，

∴x=2。

又因為x-2=0，

∴方程無解

∴方程無意義，X=2是增根。

設方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 變形得來的，如果這兩個方程的根完全相同（包括重數），那麼稱這兩個方程等價。如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根，稱 x=a 是方程的增根；如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根，稱x=b 是方程B(x)=0 的失根。

在兩非函數方程（如圓錐曲線）聯立求解的過程中，增根的出現主要表現在定義域的變化上。

例如：若已知橢圓

，O為原點座標，A為橢圓右頂點，若橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，求橢圓的圓心率的範圍。

解：橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，即是以OA為直徑畫圓，要求與橢圓有除了A(a,0)以外的另外一個解。所以聯立橢圓和圓的方程：

因為有兩個根，所以

而正解卻是

由（*）得

∴

∴

然而問題出在，無論怎麼取，只要

，好像△永遠都大於0。

於是我們取e=1/2

假設

即可得橢圓

···①

與圓

···②

聯立即可得

···(*)

有十字相乘

顯然 此時

是增根

將

帶入①式

將

帶入②式

將

帶入(*)式

可知這裏的確是產生了一個增根，而且在解題過程中不能通過任何方式排除，這説明多個非函數方程聯立求解時，方程本身無法限制x的取值。一般來説，直線與圓錐曲線的聯立並沒有出現過算出兩個解，還需要帶回去驗根的情況，大概是因為圓錐曲線不是函數，而直線是函數的原因。

注意：

1.不是任何的兩個非函數方程聯立都會產生增根。例如圓不是函數，但求兩個圓的交點，不會產生增根。

2.增根的產生和定義域有關係，但沒有絕對的關係。不能説聯立方程時，將x定義域擴大或縮小就必然會引起增根。如上述例題中，①式定義域(-2,2) ②式定義域(0,2)大多數人是在②式中，用x表示y，寫成

，再帶入①式，產生了增根。但是如果我們在①式中用x表示y，寫成

，再帶入②式，我們依然會得到增根。

下面列出兩種必然會出現增根的一般式：

橢圓

(和拋物線

聯立方程式得：

由韋達定理得

且

可知，若

，則

，出現原因是忽略了

中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R（另外我們還知道

）。

雙曲線

和拋物線

聯立方程式得

由韋達定理得

且

可知，若

，則

，出現原因是忽略了

中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R（另外我們還知道

）。

解：兩邊平方得

得

得x=5或x=-6（增根）

出現增根的原因是由於兩邊平方忽略了上式的X>0且根號內的值大於等於0。

由於同樣的粗心大意，錯誤還會在無理不等式中體現。

解分式方程時出現增根或失根，往往是由於違反了方程的同解原理或對方程變形時粗心大意造成的。

如果不遵從同解原理，即使解整式方程也可能出現增根．例如將方程x-2=0的兩邊都乘x，變形成x(x－2)=0，方程兩邊所乘的最簡公分母，看其是否為0，是0即為增根。

還可以把x代入最簡公分母也可。

增根的產生，歸根結底都是因為思維的不全面產生的。解題時要保證步步變形的等價性，這種等價性要通過等式和不等式去約束出來，特別是不等式，容易被忽略。如果不得已必須用不等價變形來解題，那麼最後千萬別忘記通過檢驗來去掉增根，這種檢驗也要注意全面性。