單連通空間

單連通空間(simply connected space)一類重要的拓撲空間.基本羣為平凡羣的道路連通空間稱為單連通空間.從而可推出可縮空間是單連通空間，但是其逆不一定成立.例如，歐氏空間中的凸集和n維球面S" (n,2)都是單連通空間，但n維球面S"(n,2)不是可縮空間.道路連通空間是單連通的充分必要條件是，此空間中任意兩條起點和終點分別相同的道路是同倫的.

非正式地説，如果我們的空間中有一個厚實的物體是由一塊構成的，並且沒有任何“洞”貫穿它，那麼它就是簡單的連接。例如，既不是甜甜圈也不咖啡杯（帶把手）被簡單地連接，但中空的橡膠球被簡單地連接。在二維中，一個圓不是簡單的連接，而是一個圓盤和一條線。被空間連接，但不是簡單的連接被稱為非簡單的連接，或者在一個有點老式的長期，多重連接。

圖1中，一個球體被簡單地連接起來，因為每一個環都可以被收縮（在表面上）到一個點上。

為了説明簡單連通的概念，假設我們正在考慮一個三維的對象;例如，盒子形狀的物體，麪包圈或開瓶器。把這個物體想象成一個形狀奇特的水族箱，裏面裝滿了水，兩邊都是剛性的。想想一個潛水員拿一根長繩子，以任何方式在水族箱裏面的水裏落下來，然後把繩子的兩端連接起來，形成一個閉環。循環開始收縮，變得越來越小。（假設這個循環魔術般地知道最佳的收縮方式，如果它可能避開它們的話，不會在鋸齒狀的邊緣上掛鈎）。如果循環可以一直收縮到一個點，那麼水族館的內部是簡單地連接。如果有時環路被卡住了，例如在甜甜圈的中心孔周圍，那麼物體就不是簡單的連接。

注意這個定義只排除了“手柄形”的孔。一個球體（或者相當於一箇中空的橡皮球）是簡單的連接的，因為球體表面上的任何環都可以收縮到一個點上，儘管它在中空的中心有一個“孔”。更強的條件，物體沒有任何尺寸的洞，被稱為收縮性。

這一套不是簡單的連接，因為它有洞。

甲拓撲空間X被稱為簡單地連接，如果它是路徑連接，並且任何連續地圖˚F：S→X（其中S表示單位圓中歐幾里德2空間）可以收縮以在以下意義上的點：存在連續映射F：D→X（其中D表示歐幾里德2-空間中的單位盤），使得限於SF為f。

一個等價的表達式是這樣的：當且僅當它是路徑連通的時候，X是簡單連通的，並且每當p：[0,1]→X和q：[0,1]→X是兩條路徑（即：連續映射）（p（0）=q（0）和p（1）=q（1）），那麼p和q是同位相對{0,1}。直觀地説，這意味着p可以“連續變形”來獲得q，同時保持終點固定。因此，這個詞簡單地連接在一起：對於任何兩個給定的點X，有一個“本質上”只有一條路徑連接它們。

表達相同的第三種方式：當且僅當X是路徑連接的，並且每個點上的X的基本組是平凡的，即僅由標識元素組成時，X是簡單連通的。類似地，當且僅當X是所有態射集合中的所有點x，y時，X才被連接

在基本的廣羣的X只有一個元素。

在複雜分析中經常使用另一個公式：當且僅當黎曼球中的X和它的補數都連通時，C的開子集X是簡單連通的。

虛數部分嚴格大於零且小於1的複數的集合提供了一個無限的，連通的，開放的補集未連接的平面子集的一個很好的例子。它是簡單地連接。也許值得指出的是，放寬X連接的要求會導致對連接擴展補數的平面的開放子集進行有趣的探索。例如，一個（不一定是連接的）開放式集合在每個連接的組件都被簡單地連接時就準確地連接了擴展式互補 ^[1]  。

圓環不是簡單的連接。沒有任何一個彩色的圈可以收縮到一個點，不離開表面。

一個曲面（二維拓撲流形）是連通的，當且僅當它連通且它的屬為0時。直觀上，該屬是曲面的“手柄”數。

如果一個空間X是不簡單連接，經常可以通過使用其糾正這一缺陷普遍罩，映射到一個簡單連接的空間X在一個特別好的方式。

如果X和Y是同倫等價的而X是簡單的連接，那麼Y也是。

請注意，連續函數下的簡單連接集的圖像不需要簡單連接。以指數映射下的複平面為例：圖像是C- {0}，顯然不是簡單的連接。

簡單連通性的概念在複雜的分析中很重要，因為以下事實：

簡單連通性的概念也是龐加萊猜想中的一個關鍵條件 ^[3]  。