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單位元素
鎖定
- 中文名
- 單位元素
- 外文名
- identity element
- 學 科
- 計算機科學、數學
- 應 用
- 羣
- 定 義
- 集合裏的一種特別的元素
單位元素概念
設 (S,*)為一帶有一二元運算* 的集合S(稱之為原羣),則S內的一元素e被稱為左單位元若對所有在S內的a而言,e*a=a;且被稱為右單位元若對所有在S內的a而言,a*e=a。而若e同時為左單位元及右單位元,則稱之為雙邊單位元,又簡稱為單位元
[1]
。
對應於加法的單位元稱之為加法單位元(通常被標為0),而對應於乘法的單位元則稱之為乘法單位元(通常被標為1)。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上,比如環。
單位元素示例
集合 | 運算 | 單位元 |
---|---|---|
+(加法) | ||
·(乘法) | ||
a(冪) | 1(只為右單位元) | |
+(加法) | ||
·(乘法) | ||
所有從集合M映射至其自身的函數 | ∘ (函數複合) | 單位函數 |
所有從集合M映射至其自身的函數 | * (卷積) | δ(狄拉克δ函數) |
串接 | 空字元串 | |
擴展的實軸 | 最小值 | -∞ |
擴展的實軸 | 最大值 | +∞ |
集合M的子集 | ∩(交集) | M |
集合 | ∪(並集) | { }(空集) |
∧(邏輯與) | ⊤(真值) | |
∨(邏輯或) | ⊥(假值) | |
閉二維流形 | #(連通和) | S² |
只兩個元素{e, f} | * 定義為 e*e= f*e=e且 f*f= e*f=f | e和f都是左單位元,但不存在右單位元和雙邊單位元 |
如最後一個例子所示,有若干個左單位元是可能的,且事實上,每一個元素都可以是左單位元。同樣地,右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元,則它們會相同且只存在單一個雙邊單位元。要證明這個,設l為左單位元且r為右單位元,則l=l*r=r。特別地是,不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元e和f的話,則e * f必同時等於e和f
[2]
。