連通和

兩個m維流形的連通和為一流形，其將兩個流形各挖去一個球，再將球面邊界黏在一起。

若兩個流形是可定向的，由逆轉定向黏合映射定義的連通和是惟一的。即使這建構使用到的球的選擇，但最後結果都會於同胚下統一。亦可以將此運算作用於光滑範疇上，而其結果也會於微分同胚下統一。

連通和的運算標記為#；例如，A#B即表示為A和B的連通和。

連通和的運算中有一球面S^m為單位元；亦即，M#S^m會同胚(或微分同構)於M。

閉球面的分類，在拓撲學上的一基本及重大結果，其描述為：任一閉曲面均可表示成g個環面和k個實射影平面的連通和。

設

和

為兩個光滑、可定向且相同維度的流形，及V為一光滑、封閉且可定向的流形，可內嵌成

和

的子流形。此外，再假設其存在一法叢的同構

其將每一纖維的定向顛倒。然後，ψ便可導出一定向保留的微分同構

其中，每一法叢

都會微分同構地和於

內V的鄰域

一致，且映射