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半自動機
鎖定
- 中文名
- 半自動機
- 外文名
- Semi-automatic machine
- 作 用
- 幺半羣在集合上的乘法性運算
半自動機簡介
半自動機是三元組
,這裏的
是叫做“輸入字母表”的非空集合,Q是叫做“狀態集合”的非空集合,而T是“轉移函數”,
幺半羣理論的一個主要主張是半自動機等價於act;所以對於任何act,都有一個獨立的半自動機,或反過來説,對於任何半自動機,都有一個獨立的act。這可以如下這樣證實。
對於所有
中的字w,設
是如下遞歸定義的函數,對於所有Q中的q:
如果
是
中的字母,則
。
如果
對於
和
,則
。
設
是個集合
半自動機變換半羣
注意“半羣”與“幺半羣”的使用:有些作者將“半羣”與“幺半羣”視為同義詞。然而此處一個半羣不必然包含單位元素;而一個幺半羣則意指含有單位元素的半羣。因為作用於集合上的函數概念永遠包括恆等函數概念在內,亦即施加於集合上時不做任何動作,故變換半羣可藉由與恆等函數聯集轉為幺半羣。
[1]
半自動機M-acts
它滿足性質
此處1表幺半羣之單位元素,並且
對所有
和
,三元組
被稱為右
-act或簡稱右-act。一般而言,
表示“
的元素與
的元素的右乘法”。右-act經常寫為
。
左-act定義類似,即
並經常表示為
。
一個
-act變換半羣十分相似,然而
的元素本身不必然為函數,它們僅是某個幺半羣的元素。所以,必須限制
的作用與幺半羣中的乘法一致(亦即,
),因為一般而言,對於某個任意
此性質可能不成立,保證此一致性可使進行函數複合時不致出問題。
一旦加上這種限制,就可以完全放心的去掉所有括號,因為幺半羣乘積和幺半羣在集合上的作用是完全滿足結合性的。特別是這允許了幺半羣的元素被表示為計算機科學意義上字母的字符串。這種抽象接着允許談論一般的字符串運算,並最終導致了由字母的字符串構成的形式語言概念。
半自動機完全變換幺半羣
半自動機M-同態
M-同態是映射
使得
對於所有
和
。所有M-同態的集合通常寫為
或
。
半自動機性質
如果狀態集合Q是有限的,則轉移函數通常表示為狀態轉移表。在自由羣中字符串所驅動的所有可能轉移的構造有一種叫de Bruijn圖的圖形描述。