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語法幺半羣
鎖定
語法幺半羣,即在
數學中,
形式語言 L 的
語法幺半羣 M(
L) 是可識別語言
L 的最小的
幺半羣。
- 中文名
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語法幺半羣
- 學 科
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數學
- 領 域
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數學
- 例 子
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跡幺半羣
語法幺半羣語法商
給定幺半羣
M的子集
,可以定義由
S中元素的形式左逆或右逆組成的集合。它們叫做
商,可以定義右商和左商,依賴於串接的是哪一端。
S與一個元素
的
右商是集合
類似的,左商是
語法幺半羣語法等價
語法商引發了
M上的一個
等價關係,叫做(引發自
S的)
語法關係、
語法等價或
語法同餘。右語法等價是等價關係
類似的,左語法關係是
兩端同餘可以定義為
語法幺半羣語法幺半羣
對於所有
(左商也類似)。所以,語法商是幺半羣態射,幷包括一個商幺半羣
可以證明S的語法幺半羣是可識別S的最小的幺半羣;就是説M(S) 識別S,對於所有識別S的幺半羣N,M(S) 是N的子幺半羣的商。S的語法幺半羣也是S的極小自動機的轉移幺半羣。
等價的説,一個語言L是可識別的,當且僅當商的族
是有限的。等價性的證明非常容易。假定字符串
x是可被
確定有限狀態自動機識別的,帶有最終機器狀態是
f。如果
y是這個機器可識別的另一個字符串,也終止於同樣的最終狀態
f,則明顯的有
。類似的,在
中元素的數目就精確等於這個自動機的最終狀態的數目。假定反過來: 在
中元素的數目是有限的。可以接着構造一個自動機,使得
是狀態的集合,
是最終狀態的集合,單元素集合
L是初始狀態,轉移函數給出自
。明顯的這個自動機識別
L。所以語言
L是可識別的當且僅當集合
是有限的。
給定表示
S的一個
正則表達式E,很容易計算
S的語法幺半羣。
語法幺半羣例子
雙循環幺半羣是戴克語的語法幺半羣。
跡幺半羣是語法幺半羣。
- 參考資料
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1.
Jean-Eric Pin, "Syntactic semigroups", Chapter 10 in "Handbook of Formal Language Theory", Vol. 1, G. Rozenberg and A. Salomaa (eds.), Springer Verlag, (1997) Vol. 1, pp. 679-746