黎曼對稱空間

黎曼對稱空間(Rimannian symmetric space)常曲率黎曼流形的一種直接推廣.對於黎曼流形的一點二，可以定義M的以x為弓如下:對任一點p，使as<p)}p與x在同一測地線上，p與‘<p)分居x兩側，且到x的距離相等.若對於M的任何點x,a二都是M的等距變換，則稱M為黎曼對稱空間.n維歐氏空間E”與歐氏球面Sn的測地線分別為En中的直線與S中的大圓，從而它們的任一點的測地對稱都是等距變換，所以它們都是黎曼對稱空間.除了古典幾何學研究的對象外，諸如常曲率的黎曼流形、半單李羣等也是黎曼對稱空間.由於保持了對稱性，自然就保持了空間每點都處於平等地位的勻齊性，也就是説黎曼對稱空間M是齊性空間，即M的等距變換羣是可遞地作用於M上的李變換羣.這種觀點給出了刻畫黎曼對稱空間的一種方法.若6是李羣G的一個對合自同構，即6筍id , aZ一id，則6的不動點集Ga={gEG}a<g)=g)是G的閉子羣.以(Ga。表示G。的單位連通分支.若G的閉子羣H滿足:(Ga)o}H}Ga,G1H有G不變黎曼度量，則G/H為黎曼對稱空間.反之，任何黎曼對稱空間都可以這種方式來表示.於是，黎曼對稱空間的研究轉化為對李羣及其對合自同構的研究，最終歸結為實單李代數的研究.單連通的完備黎曼流形為黎曼對稱空間的充分必要條件為其曲率張量的協變導數為零，即曲率張量在平行移動下不變.一般地，若一個黎曼流形有此性質，則稱之為局部黎曼對稱空間.

嘉當(Cartan , E.)於1926年開始研究的黎曼對稱空間理論，大大豐富了克萊因(Klein, <C. )F.)於1872年在埃爾朗根綱領中提出的思想—用羣的概念統一幾何學的思想，即幾何學是流形關於其變換羣的不變性理論.到1927年，嘉當已經完成了黎曼對稱空間的分類問題.保留了歐氏空間與歐氏球面的度量性質與對稱性質的空間就是黎曼對稱空間.嘉當解決黎曼對稱空間分類問題的另一種方法是以完整羣為基礎的.若x為黎曼流形M上的一點，沿着以x為起點的閉曲線的平行移動誘導出x的切空間上保持黎曼結構不變的線性變換.由這些線性變換生成的羣，稱為x的完整羣.流形上不同點的完整羣是同構的.從x的完整羣的一個元素，可以導出保持x不動的局部等距變換，由此建立完整羣的李代數、黎曼結構與曲率張量間的關係，從而解決黎曼對稱空間的分類問題.

黎曼對稱空間可以推廣為準黎曼對稱空間.其局部問題由伯熱(Berger , M.)和嚴志達解決.整體問題在非緊羣流形情況下由後藤以紀、小林昭七和西羅塔(Sirota , A. I.、索羅多夫尼科夫(Solodovnikov, A. S.)等人解決.更一般的對稱空間是一個齊性空間G/H,H是李羣G的一個對合自同構6的不動點子羣的單位連通分支.嘉當對於一般對稱空間的貢獻是關於它們的貝蒂(Betti,E. )數，並説明了它們的貝蒂數和緊李羣貝蒂數的關係. ^[1] 

它們的貝蒂數的確定簡化為一個純代數問題.不僅黎曼對稱空間的幾何性質與拓撲性質是重要的，而且黎曼對稱空間對分析學也有深刻的影響.古典分析學是以空間R或C為基礎的.現代的以黎曼流形為基礎的分析學有了極大的擴張.黎曼對稱空間上的分析學已有了許多深刻的結果與應用.例如容許復結構的黎曼對稱空間—埃爾米特對稱空間上的函數的研究，成為多元複變函數論中的重要內容.