函數零點

一般地，對於函數y=f(x)（x∈R），我們把方程f(x)=0的實數根x叫作函數y=f(x)(x∈R)的零點（the zero of the function）。即函數的零點就是使函數值為0的自變量的值。函數的零點不是一個點，而是一個實數。

使得某系統的傳遞函數G(s)為0的s的值(注意s為複數)，該值在複平面上的點，就是零點。

若該系統的輸入為U(s)，當s取值為零點處的值，則G(s)=0。又因為系統輸出Y(s)=G(s)·U(s)，而s的特殊取值使得G(s)=0，所以此時無論輸入信號為何種形式，最終輸出Y(s)都是0，這也是零點的實際意義。

也可以這樣説，若某系統工作在零點上，那麼此時任何輸入經過該系統後，輸出都是0。

若函數y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖像是連續曲線，並且在區間端點的函數值符號不同，即f(a)·f(b)≤0，則在區間[a,b]內，函數y=f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)=0在區間[a,b]內至少有一個實數解。

一般結論：函數y=f（x）的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖像與x軸（直線y=0）交點的橫座標，所以方程f(x)=0有實數根，推出函數y=f(x)的圖像與x軸有交點，推出函數y=f(x)有零點。

更一般的結論：函數F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的實數根，也就是函數y=f(x)的圖像與函數y=g(x)的圖像交點的橫座標，這個結論很有用。

變號零點就是函數圖像穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是異號（那個點函數值為零）。

不變號零點就是函數圖像不穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是同號（那個點函數值為零）。

注意：如果函數最值為0，則不能用此方法求零點所在區間。

二分法求方程的近似解

（1）確定區間[a,b]，驗證f(a)f(b)<0，給定精確度；

（2）求區間(a,b)的中點x₁；

（3）計算f(x₁)；

①若f(x1)=0，則x₁就是函數的零點；

②若f(a)f(x₁)<0，則令b=x₁（此時零點x∈(a,x1));即圖象為（a,x₁）

③若f(x₁)f(b)<0，則令a=x₁。（此時零點x∈(x₁,b)

（4）判斷是否滿足條件，否則重複(2)~(4)

⑴素數計數函數：∑μ(n)J(n√x)/n，上標為∞，下標為n=1。

J(x)是一種階性函數，定義為Li(x)-∑Li(x^ρ)-ln2+∫1/t(t-1)dt，

其中，Li(x)是多重對數，ρ是所有黎曼函數中所有實部中的非平凡零點。

⑵黎曼-馮·諾依曼公式(描寫黎曼ζ函數的零點)：N(T)=(T(log(T/2π)-1)/2π)+Ο(logT)

⑶黎曼猜想：黎曼函數中所有實部中的非平凡零點很有可能全是½(結果為實)。

⑷佩龍公式(描寫黎曼ζ函數和素數計算函數的關係：)

設G(n)=Σg(n)，上標為∞，下標為n=1

那麼，A`(x)=Σg(n),下標為n≤x=ρ/2π¡∫G(n)x^z/zdz，上標為c+¡∞，下標為c-¡∞

其中，ρ是黎曼函數中所有實部中的非平凡零點