反饋

多重對數

多重對數（polylogarithm）是一種特殊函數。與對數函數不同，多重對數並非初等函數。由這個定義，其定義域為{z| |z|＜1}，即所有模小於一的複數的集合。但我們還可以通過解析開拓（analytic continuation）將其定義域拓展至一個更大的區域。

圖1 多重對數定義

其定義如右圖1。

圖2 多重對數用積分定義

當s=1時，多重對數Li₁(z)= −ln(1−z)，多重對數名稱的來源也與此有關。當s=2和s=3時，這函數分別稱為二重對數(dilogarithm)^[2] 和三重對數(trilogarithm)。多重對數可以通過重複地積分來獲得，如右圖2的公式：

以下暫且把多重對數表示為Li(s,z)。

對於某些整數s，多重對數有以下的表達式：

Li(1,z)=-ln(1-z)

Li(0,z)=z/(1-z)

Li(-1,z)=z/(1-z)^2

Li(-2,z)=z(1+z)/(1-z)^3

當s=-2,-1,0,1,2,3時多重對數的實部和虛部圖像如下：

實部

虛部

多重函數與黎曼Zeta函數有以下關係：

Li(s,1)=ζ(s)

在軟件Mathematica中，表示多重對數的函數為PolyLog[s,z]

參考資料

詞條統計