三角級數

在數學中，三角級數是任何具有下述形式的級數：

當

和

具有以下形式時，該級數稱為傅立葉級數：

其中

是可積函數。

傅里葉級數是一種三角級數，傅里葉級數也常稱為三角級數。但並不是所有三角級數都是傅立葉級數。一個有趣的問題是給定一個三角級數，當x取什麼值時級數收斂。 ^[1] 

格奧爾格·康托爾在1870年證明了這一定理。如果三角級數的和函數是零，那麼，該三角級數的各項係數均為零。因此，如果兩個三角級數的和函數相等，那麼它們的各項係數也相等。 ^[1] 

在數學中，傅里葉級數（Fourier series）是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。更正式地説，它能將任何週期函數或週期信號分解成一個（可能由無窮個元素組成的）簡單振盪函數的集合，即正弦函數和餘弦函數（或者，等價地使用復指數）。離散時間傅里葉變換是一個週期函數，通常用定義傅里葉級數的項進行定義。另一個應用的例子是Z變換，將傅里葉級數簡化為特殊情形 |z|=1。傅里葉級數也是採樣定理原始證明的核心。傅里葉級數的研究是傅里葉分析的一個分支。

傅里葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅里葉(1768年–1830年)，他提出任何函數都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非週期函數的三角級數展開，而認定一個函數有三角級數展開之後，通過積分方法計算其係數的公式，歐拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現，傅里葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅里葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他的被稱為傅里葉逆轉定理的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將週期函數分解為簡單振盪函數的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學説。

傅里葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。

在這一節中，

表示實變量

的一個函數，且

在

上可積，

和

為實數。我們將嘗試用諧波關係的正弦函數的無窮和或級數來表示該區間內的

。在區間外，級數以

為週期（頻率為

）。若

也具有該性質，則它的近似在整個實數線上有效。我們可以從有限求和（或部分和）開始：

為週期為P的週期函數。運用恆等式：

當係數（即傅里葉係數）以下面方式計算時：

在

近似了

，該近似程度會隨着N→∞ 逐漸改善。這個無窮和叫做

的傅里葉級數表示。在工程應用中，一般假定傅里葉級數除了在不連續點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函數比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地，傅里葉級數絕對收斂且一致收斂於s(x)，只要在s(x) 的導數（或許不會處處存在）是平方可積的。 如果一個函數在區間 [x₀, x₀+P]上是平方可積的，那麼此傅里葉級數在幾乎所有點都收斂於該函數。傅里葉級數的收斂性取決於函數有限數量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅里葉級數的狄利克雷條件。參見傅里葉級數的收斂性之一。對於廣義函數或分佈也可以用範數或弱收斂定義傅里葉係數。 ^[2] 

希爾伯特空間的解讀

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味着這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是説，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

在希爾伯特空間釋義下，函數的集合

是

平方可積函數

的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有着針對任何兩個的元素f和g的如下內積：

三角函數族的正交性用公式表示出來就是：

(這裏的δ_mn是克羅內克函數)，而

^[2] 

至今還沒有判斷傅里葉級數的收斂性充分必要條件，但是對於實際問題中出現的函數，有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函數表示成的傅里葉級數都收斂。狄利克雷條件如下：

滿足以上條件的x(t)傅里葉級數都收斂，且：

1.當t是x(t)的連續點時，級數收斂於x(t)；

2.當t是x(t)的間斷點時，級數收斂於

。

1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函數的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的，即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。 ^[3]