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Θ函數

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數學中，Θ函數是一種多復變特殊函數。其應用包括阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜理論。Θ函數最常見於橢圓函數理論。相對於其“z” 變量，Θ函數是擬週期函數（quasiperiodic function），具有“擬週期性”。在一般下降理論（descent theory）中，此來自線叢條件。 [1] 
中文名
Θ函數
分    類
模形式、黎曼曲面
應    用
橢圓函數
領    域
數理科學

目錄

  1. 1 雅可比Θ函數
  2. 2 輔助函數
  3. 3 雅可比恆等式
  4. 4 以nome q表示Θ函數
  1. 5 乘積表示式
  2. 6 積分表示式
  3. 7 與黎曼ζ函數的關係
  1. 8 與維爾斯特拉斯橢圓函數之關係
  2. 9 與模形式之關係
  3. 10 解熱方程
  1. 11 與海森堡羣之關係
  2. 12 推廣

Θ函數雅可比Θ函數

雅可比Θ函數取二變量
與
，其中
為任何複數，而
為上半複平面上一點；此函數之定義為：
若固定
，則此成為一週期為1的單變量
整函數的傅里葉級數：
在以
位移時，此函數符合：
其中a與b為整數。 [2] 

Θ函數輔助函數

可定義輔助函數：
其中符號依黎曼與芒福德之習慣；雅可比的原文用變量
替換了
，而稱本條目中的Θ為
為
為
為
。
若設
，則我們可從以上獲得四支單以
，為變量之函數，其中
,取值於上半複平面。此等函數人稱“Θ‘常量’”（theta constant）；我們可以用Θ函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由“雅可比 恆等式”可得：

　　
是為四次費馬曲線。 [3] 

Θ函數雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我們已有 T 作用之式。設：
則

Θ函數以nome q表示Θ函數

我們可用變量
與
，代替
與
，來表示ϑ。設
而
。則ϑ可表示為：
而輔助Θ函數可表示為：
此表示式不需要指數函數，所以適用於指數函數無每一處定義域，如p進數域。 [4] 

Θ函數乘積表示式

雅可比三重積恆等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數
與
，其中
而
，則
此式可以用基本方法證明，如戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特共同編著的《數論導引》。
若用nome變量
與
表示，則有：
由此得到Θ函數的積公式：
三重積等式左邊可以擴展成：
即：
這個式子在z取實值時尤為重要。 各輔助Θ函數亦有類似之積公式：

Θ函數積分表示式

雅可比Θ函數可用積分表示，如下：

Θ函數與黎曼ζ函數的關係

黎曼嘗用關係式
以證黎曼ζ函數之函數方程。他寫下等式：
而此積分於替換
下不變。z非零時之積分，在赫爾維茨ζ函數一文有描述。

Θ函數與維爾斯特拉斯橢圓函數之關係

雅可比用Θ函數來構造橢圓函數，並使其有易於計算之形式。他表示他的橢圓函數成兩枚上述Θ函數之商。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造：
其中二次微分相對於z，而常數c使
的羅朗級數（於 z = 0）常項為零。

Θ函數與模形式之關係

設η為戴德金η函數。則

Θ函數解熱方程

雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x取實值，τ = it而t取正值。則有
此解此下方程：
於t = 0時，Θ函數成為“狄拉克梳狀函數”（Dirac comb）
其中δ為狄拉克δ函數，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。 [5] 

Θ函數與海森堡羣之關係

雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。

Θ函數推廣

若F為一n元二次型，則有一關連的Θ函數
其中
為整數格。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權n/2 模形式。在其富理埃級數
中，
稱為此模形式之“表示數”（representation numbers）。
參考資料
  • 1.    Abramowitz M, Stegun I A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables,[M]. Dover Publications, 1970.
  • 2.    Akhiezer N I. Elements of the Theory of Elliptic Functions[J]. Of Math Monographs Ams Providence Ri, 1990.
  • 3.    Holtz, Herrett H. Riemann surfaces.[J]. 1962.
  • 4.    E. C T. An Introduction to the Theory of Numbers[J]. Mathematical Gazette, 1929, 56(69):401-405.
  • 5.    Rauch H E, Farkas H M. Theta functions with applications to Riemann surfaces[M]. Williams & Wilkins, 1974.